XSY3320

前置芝士：回文前缀&&$border$
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考虑点分治，问题变成求经过重心的回文路径个数。
一条经过重心的回文路径长这样：

$x$到$z$的串与$y$到$root$的串相同。

建出根到每个节点对应的串的AC自动机，并在$fail$树上找出每个串的回文前缀。判断根到某个节点对应的串是不是回文串可以用哈希解决。

根据$border$理论，一个回文串的所有回文前缀的长度可以组成一个不超过$O(logn)$项的等差数列。即若$T_k$是回文串，$T_k$的最长回文真前缀是$T_{k-1}$，$T_{k-1}$的最长回文真前缀是$T_{k-2}$，…，$T_2$的最长回文真前缀是$T_1$，那么有$|T_i|=|T_{i-1}|+d$（$d$为公差）。

考虑一个点作为$x$的贡献。设根到$x$对应的串为$U$，$U$在AC自动机上对应点$X$。把$U$的最长回文真前缀看成$T_k$，那么$T_i$作为回文串$T$时，我们要查询有多少个点$y$，满足根到$y$对应的串是$U$的后缀，且长度为$|U|-|T_i|=|U|-|T_1|-(i-1)d$，记有$num[i]$个符合条件的$y$。那么最后这个$x$的贡献就是${\sum }_{i=1}^{k}num[i]$，换句话说，我们要求有多少个点$y$，满足根到$y$对应的串是$U$的后缀，且长度$len$符合：$len\equiv |U|-|T_1|(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d),|U-T_1|\le len\le |U|-|T_k|$。

$U$的后缀，即$X$在$fail$树上的祖先对应的串。我们对$fail$树$dfs$，同时开一个数组$c_{i,j}$ 记录当前节点有多少个祖先（包括自己），满足该祖先代表的串的长度 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i=j$。

那么最终贡献就是$dfs$到的点代表的串长为$|U|-|T_k|$时$c_{d,(|U|-|T_1|)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d}$的值 减去 $dfs$到的点代表的串长为$|U|-|T_1|-d$时$c_{d,(|U|-|T_1|)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d}$的值。

但这样空间复杂度是$O(n^2)$的，所以我们考虑分块，只开到$c[\sqrt{n}][\sqrt{n}]$的大小，对于公差大于$\sqrt{n}$的，我们暴力跳$fail$寻找答案。