[CSA49G][XSY3315] Bunny on Number Line （DP）

CSA49G
XSY3315
因为判断两串是否本质不同只看某几项是不是好数，与究竟是哪个好数无关，所以考虑转换一下题意：
给出一个长度为 $a_k$ 的01串 $S$ ，第 $a_1,a_2,...,a_k$ 项为1，其余项为0。
现要用若干个 $S$ 的前缀拼出串 $T$ ，使得 $T$ 中有 $n$ 个1，以1结尾，并且任意两个1之间0的个数不超过 $m$ 。问所有不同的 $T$ 的长度之和为多少？

$S$ 如果用01串表示，会很长，发现 $k$ 很小，考虑换一种表示方式：设 $b_i=a_i-a_{i-1}$ 。我们把 $S$ 串描述成 ${b_1,b_2,b_3,...,b_k\}$ ，表示 $S$ 由 $b_1-1)$ 个0,1个1, $b_2-1)$ 个0,1个1,…, $b_k-1)$ 个0,1个1 拼接而成。

设 $g (x, i)$ 表示目前有 $x$ 个1，以 $b_i-1)$ 个0+1个1 结尾的01串个数，
$f (x, i)$ 表示目前有 $x$ 个1，以 $b_i-1)$ 个0+1个1 结尾的01串长度之和。
可以列出dp式：

$g(x,i)={g(x−1,i−1)i>1∑j=1kg(x−1,j)×(m−a[1]+1)i=1g(x,i)=\begin{cases}g(x-1,i-1)\qquad i>1\\\sum_{j=1}^{k}g(x-1,j)\times(m-a[1]+1)\qquad i=1\end{cases}$

$f(x,i)={f(x−1,i−1)+(a[i]−a[i−1])×g(x−1,i−1)i>1∑j=1kf(x−1,j)×(m−a[1]+1)+g(x−1,j)×(a[1]+m)(m−a[1]+1)2i=1f(x,i)=\begin{cases}f(x-1,i-1)+(a[i]-a[i-1])\times g(x-1,i-1)\qquad i>1\\\sum_{j=1}^{k}f(x-1,j)\times(m-a[1]+1)+g(x-1,j)\times\frac{(a[1]+m)(m-a[1]+1)}{2}\qquad i=1\end{cases}$

把式子用矩阵快速幂优化一下，复杂度是 $O(k^3logn)$
（ps.因为 $f$ 的转移同时与 $f, g$ 有关，所以通过矩乘转移的过程有点特殊，具体可以看代码。）

然而还有一个小小的问题：
假设 $a=\{2,6,7,9,13\}$ ，
那么 $S [1 - 13] = 0100011010001$ ， $S [1 - 6] = 010001$ ， $S [1 - 7] = 0100011$ 。
我们发现 $S [1 - 7] + S [1 - 6] = S [1 - 13]$ ，即若 $S [1 - y]$ 是 $S [1 - x]$ 的后缀，则 $S [1 - x]$ 可以由 $S [1 - y]$ , $S [1 - (x - y)]$ 拼成。但仔细看上面的dp式就会发现 $S [1 - 7] + S [1 - 6]$ 和 $S [1 - 13]$ 被算成了两个串。怎么办？暴力预处理一下，对于前缀 $S [1 - x]$ ，若有前缀 $S [1 - y]$ 同时是 $S [1 - x]$ 的后缀，则前缀 $S [1 - x]$ 不能取。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int K=110;
int kk,m,n,a[K],pd[K][K],flag[K],ans;
struct Matrix{int n,m,g[K][K],f[K][K];//g:个数 f:长度和 Matrix(int x=0,int y=0){memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));n=x,m=y;}friend Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){Matrix res(a.n,b.m);for(int i=1;i<=a.n;i++){for(int j=1;j<=b.m;j++){__int128 g=0,f=0;for(int k=1;k<=a.m;k++){g+=1ll*a.g[i][k]*b.g[k][j];f+=1ll*a.f[i][k]*b.g[k][j]+1ll*a.g[i][k]*b.f[k][j];}res.g[i][j]=int(g%mod);res.f[i][j]=int(f%mod);}}return res;}
};
int Sum(ll x,ll y){return (x+y)*(y-x+1)/2%mod;
}
int main(){scanf("%d%d%d",&kk,&m,&n);for(int i=1;i<=kk;i++) scanf("%d",&a[i]);sort(a+1,a+kk+1);pd[1][1]=1;for(int i=2;i<=kk;i++){int fl=0;for(int j=2;j<=i;j++){if(pd[i-1][j-1]==1) fl=1;if(pd[i-1][j-1]==1&&(a[j]-a[j-1])==(a[i]-a[i-1])) pd[i][j]=1;}if(a[1]<=a[i]-a[i-1]&&fl) pd[i][1]=1;for(int j=1;j<i;j++)if(pd[i][j]==1) flag[i]=1;}Matrix A(kk,kk),res(1,kk);for(int i=1;i<=kk;i++){if(flag[i]==0){A.g[i][1]=max(m-a[1]+1,0);A.f[i][1]=max(Sum(a[1],m),0);}       }for(int i=1;i<kk;i++){if(a[i+1]-a[i]<=m){A.g[i][i+1]=1;A.f[i][i+1]=a[i+1]-a[i];}}res.g[1][1]=max(m-a[1]+1,0);res.f[1][1]=max(Sum(a[1],m),0);int b=n-1;while(b){if(b&1) res=res*A;b>>=1;A=A*A;}for(int i=1;i<=kk;i++){if(flag[i]==0) ans=(ans+res.f[1][i])%mod;}printf("%d\n",ans);return 0;
}