三分概念

我们都知道，二分是在一个单调函数（即一次函数）上通过每次查找折半的方式，对答案进行搜索查找。那么，三分就是在一个单峰函数（二次函数，抛物线）上，不断地将答案分为三份，
通过两者的比较来求取这个峰值（极值）的答案。
对于所要求解的范围[L,R]，计算出两个点M1和M2将整个范围分为三段，
M1在从左数1/3处，M2在从左数2/3处。每次计算时，计算M1处和M2处的值，
在这两个点中，更接近我们想要的答案的那个值称为好点，另一个称为坏点，
并更新靠近坏点那一侧的边界值。最后直到搜索到我们的答案为止。

也就是如果我们要找最大值，且M1>M2就三分l~M2，即把右端点r变为M2

为什么是靠近坏点呢？以求最大值为例（凸峰函数，a<0）解释
因为我们是三分答案，有可能出现M1，M2都在我们答案点的左边或者右边，

假设都在右边，M1的值大于M2的值，如果我们靠近好点，把l变成了M1，就彻底离开了答案的怀抱！！
反之，靠近坏点，更改r，在新的[l,r]区间内仍是包含着答案点的！

换言之，我们找到了两个点，M1优于M2，那么[M2,r]也一定是不优于M1的，就可以大胆舍去
但我们不能保证[l,M1]全都不优于M1，~~无法割舍的爱~~

模板

三分是与二分相似的，count就是我们对答案正确性的判断

int count ( int x ) {
......//进行答案处理
}
void sanfen ( double l, double r ) {if ( ( r - l ) < eps ) {id = l;return;}double mid1 = l + ( r - l ) / 3.0;double mid2 = r - ( r - l ) / 3.0;if ( count ( mid1 ) < count ( mid2 ) )sanfen ( l, mid2 );elsesanfen ( mid1, r );
}

例题：曲线

题目

给定n个二次函数f1(x),f2(x),…,fn(x)（均形如ax^2+bx+c），设F(x)=max{f1(x),f2(x),…,fn(x)}，求F(x)在区间[0,1000]上的最小值。
在这里插入图片描述

输入格式
输入第一行为正整数T，表示有T 组数据。

每组数据第一行一个正整数n,接着n行，每行3个整数a,b,c ，用来表示每个二次函数的3个系数，
注意二次函数有可能退化成一次。

输出格式
每组数据输出一行，表示F(x)的在区间[0,1000]上的最小值。答案精确到小数点后四位，四舍五入。

输入输出样例
输入
2
1
2 0 0
2
2 0 0
2 -4 2
输出
0.0000
0.5000
说明/提示
【数据范围】
T < 10， n ≤ 10000,0 ≤ a ≤ 100，|b| ≤ 5000, |c| ≤ 5000 前50%数据n ≤ 100

题解

说了这道题是例题，那么肯定是三分啦！but。。。
我竟然和仙女同学们一起讨论了为什么是三分
在这里插入图片描述
我们以题目要求来分析，用最简单的两个函数为例，如图：

每次都要取最大值，也就意味着当至少两个函数遇到相交点，
如果第一个函数开始递增，那么就必定函数逐步递减有一段会代替它，接上它
就根本不会出现大波浪卷发的形状，不能理解也没关系，好好想想就行了！~~这不重要~~

这道题就是个模板，所以没有什么思维可讲，唯一有点臭不要脸的就是，精度！！！
eps不能卡着四位小数开，
因为题目要的是y也就是函数结果的精度四位，而我们三分的是x，精度要更高开个1e-9就能卡过了
~~我被卡哭了，本仙女也不会告诉你我刚开始连题目都理解错了~~~
在这里插入图片描述

代码实现

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define eps 1e-9
#define L 0
#define R 1000
int n, t;
double a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN];
double id;double count ( double x ) {double val = -2147483647;for ( int i = 1;i <= n;i ++ )val = max ( a[i] * x * x + b[i] * x + c[i], val );return val;
}void sanfen ( double l, double r ) {if ( ( r - l ) < eps ) {id = l;return;}double mid1 = l + ( r - l ) / 3.0;double mid2 = r - ( r - l ) / 3.0;if ( count ( mid1 ) < count ( mid2 ) )sanfen ( l, mid2 );elsesanfen ( mid1, r );
}int main() {scanf ( "%d", &t );while ( t -- ) {scanf ( "%d", &n );for ( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf ( "%lf %lf %lf", &a[i], &b[i], &c[i] );sanfen ( L, R );printf ( "%.4lf\n", count ( id ) );}return 0;
}