正题

题目连接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7854

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题目大意

给出$n$数字的一个序列$a$。

现在要求构造一棵树，使得对于任意的$(x,y)$都有
$$gcd(a_x,a_y)=a_{lca(x,y)}$$

$1\le n\le 10^5,1\le a_i\le 10^6$

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解题思路

考虑对于一个数字$a_x$，我们枚举它的存在于$a$序列中所有约数$a_d$，考虑对于这些$a_d$如果它们之间不存在祖先关系那么显然无解，否则我们就选择深度最大的那个节点连接。

当然枚举约数太麻烦所以我们直接枚举每个数的倍数。

然后这样的话发现其实是有问题的，因为我们只保证了$a_{lca(x,y)}|gcd(a_x,a_y)$。

但是有解时这样构造肯定是正确的，所以只需要考虑如何判断这种情况的无解即可。

发现如果对于每一对$(x,y)$都存在$a_i=gcd(a_x,a_y)$那么就可以用上面那种情况构造。

所以我们只需要求出每个数字作为$gcd(a_x,a_y)$出现的次数就好了。

记$m$为max{ai}max\{a_i\}max{ai​}，那么时间复杂度就是$O(n+m\log m)$

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解题思路

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e6+10,L=1e6;
int n,a[N],p[N],fa[N],r[N],c[N];
long long v[N];
bool cmp(int x,int y)
{return a[x]<a[y];}
int main()
{scanf("%d",&n);int d=0;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),d=__gcd(d,a[i]);for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=a[i]/d,p[i]=i,c[a[i]]++;sort(p+1,p+1+n,cmp);int z=1;if(!c[1])return puts("-1")&0;for(int i=1;i<=L;i++){if(!c[i])continue;while(z<=n&&a[p[z]]<=i){fa[p[z]]=r[i];r[i]=p[z];z++;}for(int j=2*i;j<=L;j+=i){if(!c[j])continue;if(!r[j])r[j]=r[i];else{if(i%a[r[j]])return puts("-1")&0;r[j]=r[i];}}}for(int i=1;i<=L;i++){for(int j=i;j<=L;j+=i)v[i]+=c[j];v[i]=v[i]*v[i];}for(int i=L;i>=1;i--)for(int j=i+i;j<=L;j+=i)v[i]-=v[j];for(int i=1;i<=L;i++)if(v[i]&&!c[i])return puts("-1")&0;for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",fa[i]);return 0;
}