正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4100

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题目大意

给出$n$个线性无关的向量$A_i$，然后给出$n$个向量$B_i$，求一个字典序最小的排列$p$使得将任意的$A_i$替换为$B_{p_i}$后依旧线性无关。

$1\le n\le 300$

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解题思路

首先因为我们有$n$个向量$A$线性无关，那么显然这$n$个向量能表示任意向量，如果对于一个$B_{p_i}$替换为$A_i$后依旧线性无关，那么$B_{p_i}$与$A_i$是等价的（因为$B_{p_i}$和$A_i$都代表了剩下$n-1$个无法表示的部分）。

所以只需考虑每个$B_j$能否换到$A_i$即可，构建出矩阵$A=[A_1,A_2...A_n]$和$B=[B_1,B_2...B_n]$，考虑一个置换矩阵使得$AR=B$，那么就是对于每个$B$如何用$A$进行表示。

那么如果$R_{i,j}=0$也就是说$B$可以用$A_j$以外的其他$A$表示所以$B$替换到$A_j$之后肯定线性有关了，所以不行。

$R=\frac{B}{A}$，求逆得到$R$，这样我们就知道哪些$A$可以替换哪些$B$了，问题就变成了最小字典序匹配。对于这个问题我们可以考虑找一条增广环就好了。

时间复杂度$O(n^3)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=310;
const double eps=1e-8;
int n,v[N],link[N];
double A[N][N],B[N][N];
bool GetInv(){for(int i=1;i<=n;i++){int z=i;for(int j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(A[j][i])>fabs(A[z][i]))z=j;swap(A[i],A[z]);swap(B[i],B[z]);double x=A[i][i];if(fabs(x)<eps)return 0;for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]/=x,B[i][j]/=x; for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j)continue;double rate=-A[j][i];for(int k=1;k<=n;k++)A[j][k]+=rate*A[i][k],B[j][k]+=rate*B[i][k];}}for(int i=n;i>=1;i--)for(int j=1;j<i;j++){double rate=-A[j][i];for(int k=1;k<=n;k++)A[j][k]+=rate*A[i][k],B[j][k]+=rate*B[i][k];	}return 1;
}
bool dfs(int x){for(int i=1;i<=n;i++)if(!v[i]&&fabs(B[x][i])>=eps){v[i]=1;if(!link[i]||dfs(link[i])){link[i]=x;return 1;}}return 0;
}
int calc(int x,int top){for(int i=1;i<=n;i++)if(!v[i]&&fabs(B[x][i])>=eps){v[i]=1;if(link[i]==top||(link[i]>top&&calc(link[i],top))){link[i]=x;return i;}}return 0;
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%lf",&A[j][i]);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%lf",&B[j][i]);if(!GetInv())return puts("NIE")&0;for(int i=1;i<=n;i++){memset(v,0,sizeof(v));if(!dfs(i))return puts("NIE")&0;}puts("TAK");for(int i=1;i<=n;i++){memset(v,0,sizeof(v));printf("%d\n",calc(i,i));}return 0;
}