正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4548

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题目大意

$t$次询问，给出一个长度为$m$的串$S$和一个空串$T$，每次在$T$后面随机加入$1\sim n$的字符，直到$T$中出现$S$为止，求期望次数。

$1\le n\le 10^5,t\le 50,1\le m\le 10^5$

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解题思路

对于一个随机的数字$X$，它的概率生成函数是一个形如
$$F(x)=\sum _{i=0}^{\infty }P(X=i)x^i$$
$$F^{\prime }(x)=\sum _{i=1}^{\infty }P(X=i)i{x}^{i-1}$$
不难发现数字$X$的期望值就是$E(X)=F^{\prime }(1)$
然后还有一个不知道有啥用的$X$的方差（大概就是离散程度）
$$V(X)=F^{\prime \prime }(1)+F^{\prime }(1)-F^{\prime }(1{)}^2$$

这题的话，设两个生成函数，$F(x)$表示停止时间$X$的概率生成函数，还有一个$G(x)$表示没有停止时间的概率（不是概率生成函数），具体地
$$G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }P(i<X)x^i$$
然后我们就有两个式子
$$xG(x)+1=F(x)+G(x)$$
这个式子的含义很好理解，在还没有结束的序列后面加入一个字符要么结束了要么没结束。
$${\left(\frac{x}{n}\right)}^{m}G(x)=\sum _{i=1}^m{\left(\frac{x}{n}\right)}^{m-i}{b}_{i}F(x)$$
$b_i$表示$i$是否是串$S$的一个$border$，这个式子的意思就是说在直接在未结束的$T$后面插入一个$S$，此时可能提前结束。

然后这两个式子怎么用呢，我们对第一个式子求导就有
$$G(x)+G^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)\Rightarrow F^{\prime }(x)=G(x)$$
也就是说我们要求的$E(X)=F^{\prime }(1)=G(1)$
然后直接带入第二个式子，因为有$F(1)=1$，所以
$${\left(\frac{1}{n}\right)}^{m}G(1)=\sum _{i=1}^m{\left(\frac{1}{n}\right)}^{m-i}{b}_{i}F(1)$$
$$\Rightarrow G(1)=\sum _{i=1}^m{n}^i{b}_i$$
用$KMP$求出$b$数组即可。

时间复杂度$O(Tm)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=1e4;
ll T,m,n,pw[N],a[N],nxt[N];
signed main()
{scanf("%lld%lld",&m,&T);pw[0]=1;for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*m%P;while(T--){scanf("%lld",&n);ll ans=0;for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);for(ll i=2,j=0;i<=n;i++){while(j&&a[j+1]!=a[i])j=nxt[j];j+=(a[j+1]==a[i]);nxt[i]=j;}for(ll i=n;i;i=nxt[i])(ans+=pw[i])%=P;printf("%04lld\n",ans);}return 0;
}