正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3291

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题目大意

给出 $n$ 个数字对 $(atk,dnf)$，求一个$(a,b)$。

对于每个数字对可以选择任意一个实数$k$让其变为$(atk+k\times a,dnf-k\times a)$，但是操作完之后两个数字都非负。记$atk/dnf(a,b)$表示在$(a,b)$下$atk/dnf$的最大值。

然后要求最小化max{atki(a,b),dnfi(a,b)}max\{atk_i(a,b),dnf_i(a,b)\}max{atki​(a,b),dnfi​(a,b)}。

$1\le n\le 10^6,1\le atk,dnf\le 10^8$

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解题思路

首先视$(atk,dnf)$为一个点的话，那么对于任意一个$(a,b)$答案肯定是在上凸壳上的。

然后考虑实际上我们并不需要用到$(a,b)$只需考虑$\frac{b}{a}$的值，定义$k=\frac{b}{a}$

然后就是要求最小化（用$a_i$代$at{k}_i$，$d_i$代$dn{f}_i$）
$$a_i+b_i+a_{i}k+b_i\frac{1}{k}$$
考虑这个点在$k$的哪些区间由它取到最大值，对于一个$j$需要满足
$$a_i+b_i+a_{i}k+b_i\frac{1}{k}>a_j+b_j+a_{j}k+b_j\frac{1}{k}$$
化一下
$$(a_i-a_j)k^2+(a_i-a_j+b_i-b_j)k+(b_i-b_j)>0$$
然后就是一个二次不等式，并且考虑到$j$只需考虑凸壳上$i$左右连接的两个点，解出来我们可以得到$k$的合法范围。

然后上面那个是一个对钩函数，现在只需在这个范围内求这个对钩函数的最小值就好了。

时间复杂度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
struct node{double x,y;
}p[N],s[N];
int n,top;double ans;
bool calc(double a,double b,double c,double &l,double &r){double d=b*b-4.0*a*c;if(d<0)return 0;d=sqrt(d);double x0=(-b-d)/(2*a),x1=(-b+d)/(2*a);if(x0>x1)swap(x0,x1);l=x0;r=x1;return 1;
}
bool cmp(node x,node y)
{return (x.x==y.x)?(x.y>y.y):(x.x<y.x);}
double solpe(node x,node y)
{return (y.y-x.y)/(y.x-x.x);}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);sort(p+1,p+1+n,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){while(top>1&&solpe(s[top-1],s[top])<=solpe(s[top-1],p[i]))top--;s[++top]=p[i];}ans=1e18;for(int i=1;i<=top;i++){double z=sqrt(s[i].y/s[i].x);double l=0,r=1e18,L=1,R=1;bool flag=1;if(i>1)calc(s[i].x-s[i-1].x,s[i].x-s[i-1].x+s[i].y-s[i-1].y,s[i].y-s[i-1].y,L,R);if(i<top)flag&=calc(s[i].x-s[i+1].x,s[i].x-s[i+1].x+s[i].y-s[i+1].y,s[i].y-s[i+1].y,l,r);if(!flag)continue;if(L<l)l=max(R,l);if(R>r)r=min(r,L);if(l>r||r<=0)continue;z=max(z,l);z=min(z,r);if(z>L&&z<R){if(L>=l)ans=min(ans,s[i].x+s[i].y+s[i].x*L+s[i].y/L);if(R<=r)ans=min(ans,s[i].x+s[i].y+s[i].x*R+s[i].y/R);}else ans=min(ans,s[i].x+s[i].y+s[i].x*z+s[i].y/z);}printf("%.4lf\n",ans);return 0;
}