【做题记录】max-min+1=len 区间计数

(来源：XJ高质量原创题)

原题地址

弱化版：CF526F Pudding Monsters

弱化版

题意：\(n\times n\) 的棋盘上有 \(n\) 颗棋子，每行每列都有且仅有一颗棋子，求出有多少个 \(k\times k\) 的子棋盘也满足每行每列只有一颗棋子。

将棋盘的 \(x\) 轴看作上一题中每个点的下标，\(y\) 轴看作这个点的权值。

其实就是树退化为了链，而 \(m=1\) 的情况。

题意

给定一棵树，每一个点有一个权值 \(a_i\) ，\(\{a\}\) 构成一个排列。

询问有多少个点集 \(S={u_1,u_2,\dots,u_k}(1\le j\le n)\) 满足这些点构成联通块不超过 \(m\) 个，且 \(\max_{1\le i\le k}\{a_{u_{i}}\}-\min_{1\le i\le k}\{a_{u_{i}}\}+1=k\) 。

\(n\le 10^5,m\le 7\)

题解

考虑枚举值域的右端点 \(r\)，考虑加入这个右端点时，对与 \([1,r-1]\) 中的最短点的联通块个数的变化。

先假设假设这个点与其他无边相连，那么联通块数加 \(1\) 。

对于每一条与点集中的点相连的边 \((num(r),ver)\) ，都会使左端点在 \([1,val(ver)]\) 中的联通块数量 \(-1\) (\(num(x)\) 表示权值为 \(x\) 的点的编号)。

之后我们就将题意简化为：

• 区间加上一个数

• 求出整个数列中 \(\le m\) 的数有多少个

• 保证 \(a[1]=1\)

考虑到 \(m\) 比较小，猜测答案复杂度为 \(O(nm\log n)\) 。

我们将加减操作同普通的线段树操作，主要改变 \(\text{pushup}\) 操作。

在线段树的每一个节点 \([l,r]\) 上维护：

• \(minn\) ： 表示在 \([l,r]\) 区间上数的最小值。

• \(cnt[7]\) ： 表示这段区间内值域在 \([minn,minn+6]\) 之间的数分别有多少。

之后根据两个子区间的最小值就可以愉快地转移啦！！

// Author:A weak man named EricQian
// expect : 100 pts
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define infll 0x7f7f7f7f7f7f7f7f
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Maxn 500005
#define Maxm 7
typedef long long ll;
inline int rd()
{int x=0;char ch,t=0;while(!isdigit(ch = getchar())) t|=ch=='-';while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();return x=t?-x:x;
}
int n,m,tot;
int val[Maxn],num[Maxn];
int hea[Maxn],nex[Maxn<<1],ver[Maxn<<1];
struct TREE { ll minn,laz,cnt[Maxm]; }tree[Maxn<<2];
ll ans;
inline void add(int x,int y){ ver[++tot]=y,nex[tot]=hea[x],hea[x]=tot; }
inline void pushup(int p)
{int x=p<<1,y=p<<1|1,tmp;if(tree[x].minn>tree[y].minn) swap(x,y);tree[p].minn=tree[x].minn;for(int i=0;i<m;i++) tree[p].cnt[i]=tree[x].cnt[i];tmp=tree[y].minn-tree[x].minn;for(int i=tmp;i<m;i++) tree[p].cnt[i]+=tree[y].cnt[i-tmp];
}
inline void pushdown(int p)
{tree[p<<1].laz+=tree[p].laz,tree[p<<1].minn+=tree[p].laz;tree[p<<1|1].laz+=tree[p].laz,tree[p<<1|1].minn+=tree[p].laz;tree[p].laz=0;
}
void build(int p,int nl,int nr)
{if(nl==nr) { tree[p].minn=tree[p].cnt[0]=1; return; }int mid=(nl+nr)>>1;build(p<<1,nl,mid),build(p<<1|1,mid+1,nr);pushup(p);
}
void add(int p,int nl,int nr,int l,int r,int k)
{if(nl>=l && nr<=r) { tree[p].minn+=k,tree[p].laz+=k; return; }pushdown(p);int mid=(nl+nr)>>1;if(mid>=l) add(p<<1,nl,mid,l,r,k);if(mid<r) add(p<<1|1,mid+1,nr,l,r,k);pushup(p);
}
int main()
{n=rd(),m=rd();for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=rd(),num[val[i]]=i;for(int i=1,x,y;i<n;i++) x=rd(),y=rd(),add(x,y),add(y,x);build(1,1,n);for(int r=1;r<=n;r++){if(r!=1) add(1,1,n,1,r-1,1);for(int i=hea[num[r]];i;i=nex[i])if(val[ver[i]]<val[num[r]])add(1,1,n,1,val[ver[i]],-1);for(int i=0;i<m;i++) ans+=tree[1].cnt[i];ans-=(n-r);}printf("%lld\n",ans);return 0;
}