连通性相关

强联通分量

强连通：有向图 \(G\) 强连通表示，\(G\) 中任意两个结点连通。

强连通分量( Strongly Connected Components ，简称 \(\operatorname{SCC}\) )：极大的 强连通子图。

Tarjan

维护了以下两个变量：

• \(dfn\) ：深度优先搜索遍历时结点 \(u\) 被搜索的次序 。

• \(low\) ：设以 \(u\) 为根的子树为 \(subtree(u)\) 。 \(low\) 定义为以下结点的 \(dfn\) 的最小值： \(subtree(u)\) 中的结点；从 \(subtree(u)\) 通过 一条 不在搜索树上的边能到达的结点 。

从根开始的一条路径上的 \(dfn\) 严格递增，\(low\) 严格非降。

对于一个连通分量图，我们很容易想到，在该连通图中有且仅有一个 \(dfn[u]=low[u]\) 。该结点一定是在深度遍历的过程中，该连通分量中第一个被访问过的结点，因为它的 \(dfn\) 值和 \(low\) 值最小，不会被该连通分量中的其他结点所影响。

因此，在回溯的过程中，判定 \(dfn[u]=low[u]\) 的条件是否成立，如果成立，则栈中从 后面的结点构成一个 \(\operatorname{SCC}\) 。

P2341 [HAOI2006]受欢迎的牛 G \(-\) 模板

$\texttt{code}$

#define Maxn 10005
#define Maxm 50005
void tarjan(int u)
{dfn[u]=low[u]=++Time; s.push(u),ins[u]=true;for(int i=hea[u];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]) tarjan(ver[i]),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);else if(ins[ver[i]]) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);}if(dfn[u]==low[u]){sum+=1;do{belong[u]=sum;u=s.top(); s.pop(); ins[u]=false;cnt[sum]+=1;} while(dfn[u]!=low[u]);}
}for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);

时间复杂度 \(O(n+m)\) 。

Kosaraju

复杂度 \(O(n+m)\) 。

Garbow

复杂度 \(O(n+m)\) 。

我们可以利用强联通分量将一张图的每个强连通分量都缩成一个点。

然后这张图会变成一个 \(\operatorname{DAG}\)，可以进行拓扑排序以及更多其他操作 。

应用 \(-\) 缩点

P3387 【模板】缩点

for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(int i=1;i<=tot[0];i++)if(belong[fro[0][i]]!=belong[ver[0][i]])add(1,belong[fro[0][i]],belong[ver[0][i]]),ind[belong[ver[0][i]]]++;
topo();

---

割点与桥

在无向图中删去这个点 \(/\) 边会使极大强联通增大，那么这个点 \(/\) 边为割点 \(/\) 桥 。

注意这里的 \(dfn\) 表示不经过父亲，能到达的最小的 \(dfn\) 。

割点

P3388 【模板】割点(割顶)

关键条件：

• 若 \(u\) 是根节点，当至少存在 \(2\) 条边满足 \(low[v] >= dfn[u]\) 则 \(u\) 是割点 。

• 若 \(u\) 不是根节点，当至少存在 \(1\) 条边满足 \(low[v] >= dfn[u]\) 则 \(u\) 是割点 。

$\texttt{code}$

void tarjan(int u,int fa)
{dfn[u]=low[u]=++Time;for(int i=hea[u];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){tarjan(ver[i],u),low[u]=min(low[ver[i]],low[u]);if(low[ver[i]]>=dfn[u]) cnt[u]+=1;}else if(ver[i]!=fa) low[u]=min(dfn[ver[i]],low[u]);}
}for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) cnt[i]-=1,tarjan(i,0);
for(int i=1;i<=n;i++) if(cnt[i]>=1) ans+=1;

割边(桥)

关键条件：

• 当存在一条边条边满足 \(low[v] > dfn[u]\) 则边 \(i\) 是割边

关键部分的代码：

注意：记录上一个访问的边时要记录边的编号，不能记录上一个过来的节点(因为会有重边)！！！

$\texttt{code}$

void tarjan(int x,int Last_edg)
{dfn[x]=low[x]=++Time;for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){tarjan(ver[i],i);low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);if(low[ver[i]]>dfn[x]) edg[i]=edg[i^1]=1;}else if(i!=(Last_edg^1)) low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);}
}for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,0);
for(int j=2;j<=tot;j+=2) ans+=tag[j];

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双联通分量

边双联通分量

显然，找出每一个桥，去掉这些桥之后的每一个联通块都是一个边双联通字图。

注意：用边双缩点的时候先处理出割边，之后用 \(\text{dfs}\) 求出每一个双联通分量，不用栈！！

例题：P2860 [USACO06JAN]Redundant Paths G

$\texttt{solution}$

一句话题意：要将原图转化为边双联通图需要添加的最少边数

我们可以先将所有的桥找出来，并同时对所有边双缩点，会得到一颗缩完点的、由桥构成的“树”。

我们发现这棵“树”上“叶子结点”的个数除二向上取整就是需要添加的边的条数。

点双连通分量

小粉兔的圆方树——点双详解

【模板】点双连通分量

回忆 \(low\) 的定义，就是 \(x\) 的子树内最多经过一条反祖边或一条向父亲的边能够到达的最小的 \(dfn\) 值。

当 \(x\) 不是这个连通块的根时，如果存在一条边满足 \(low(ver)\ge dfn(x)\)，那么 \(x\) 就是一个个点。

而 \(x\) 是根时，\(x\) 需要存在至少两条边满足以上条件。

这是因为当 \(x\) 为根时，没有父亲与之相连。

那么当我们在求点双时，只需要判断子树内的 \(low\) 是否会 \(<dfn(x)\)，若会，则说明子树中的点能够到达 \(x\) 的祖先，\(x\) 必然不是个点。而若不会，即 \(low(ver)\ge dfn(x)\)，则说明 \(x\) 是这个点双的顶端个点，这时可以将递归进入的点都弹出，直至栈顶元素变为 \(ver\)，再将 \(ver\) 从栈中弹出，加上 \(x\) 就是这个点双联通分量了。

还要注意孤立点的情况。

如果需要处理点双中点的个数，那么可以在栈中存放点，例如一下代码：

void tarjan(int x)
{dfn[x]=low[x]=++Time,sta[++tp]=x;if(tp==1 && !hea[x]) { SCC[++sum].pb(x); return; }for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){tarjan(ver[i]);low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);if(low[ver[i]]>=dfn[x]){sum++;do { SCC[sum].pb(sta[tp--]); }while(sta[tp+1]!=ver[i]);SCC[sum].pb(x);}}else low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);}
}

而如果需要处理点双中的边，那么就需要在栈中存边，如以下代码：

void tarjan(int x,int fa)
{dfn[x]=low[x]=++Time;int cntson=0;for(int i=hea[x];i;i=nex[i]){if(!dfn[ver[i]]){sta[++tp]=i,tarjan(ver[i],i),cntson++;low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);if(low[ver[i]]>=dfn[x]){isdian[x]=true,sum++;int tmp=0;do{tmp=sta[tp--];scc[sum].pb(fro[tmp]);scc[sum].pb(ver[tmp]);}while(tmp!=i);}}else if(i!=(fa^1)) low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]); }if(fa==0 && cntson==1) isdian[x]=false;
}