T1：等比数列三角形

题目

求三边都是 ≤n 的整数，且成等比数列的三角形个数
注意三角形面积不能为 0
注意 oeis 中未收录此数列，所以并不需要去搜了

输入格式
一行一个整数 n
输出格式
一行一个整数表示答案

样例
样例输入1
9
样例输出1
10
样例解释1
除去 9 个等边三角形，还有 {4，6，9} 。

样例输入2
100
样例输出2
133

数据范围与提示
一共有 4 个子任务，对于每一个子任务，你只有通过了该子任务的所有测试点，才能获得此子任务的分数
有 10pts，保证 n≤10
有 20pts，保证 n≤10⁵
有 20pts，保证 n≤10⁵
有 50pts，保证 n≤10¹²
对于所有数据，有1≤ n≤10¹²

题解

注意{4,6,9}，{6,4,9}，{9,6,4}算同一个三角形，所以不用管顺序
设三条边从小到大分别为$a,ak,a{k}^2$($k$为公比且为正整数)
所以$1\le k$

---

就然要构成三角形，必然要满足
$a+ak>a{k}^2=>1+k>k^2=>k^2-k-1<0$
解得$k<\frac{\surd 5+1}{2}$

综上$k\in [1,\frac{\surd 5+1}{2})$

---

接下来令$k=\frac{p}{q}$($q,p$互质)，最大边就表示为$a\ast \frac{p^2}{q^2}$
最大边$\le n$，故此$q\le \surd n$
因为$q=\frac{p}{k}$，那么

• 当$k$取最大时，$q$取最小，把$k=\frac{\surd 5+1}{2}$带入就解出了$q$的最小值，
  但因为k取不到这个开区间，q的这个最小值也是一个开区间
• 当k取最小时，$q$取最大，这是满足$q=p$，$q$的这个最大值是一个闭区间

综上$q\in (p\ast \frac{2}{\surd 5+1},p]$，在这里有个转化思想，把$p$代换成$q$，得到$q\in (q\ast \frac{2}{\surd 5+1},q]$
我们就可以枚举$p\in [1,\surd n]$，算出此时q的可取值个数
注意：其实理解成枚举$q$也是说得通的

---

当这样统计完后，会出现一个问题
{2，3，6},{4，6，9}\{2，3，6\},\{4，6，9\}{2，3，6},{4，6，9}这种公比为$\frac{3}{2}$的三角形，会被重复计算进公比为$\frac{6}{4}$
所以我们需要把这些排除掉，这也是为什么上面推导的时候$\frac{p}{q}$要保证互质
这里就可以用类似埃筛的方法，把$x$的因数里面算过的三角形减掉

要正着减，如果倒着，公比为$\frac{12}{8}$会先减掉公比为$\frac{9}{6}$而这里面还包含着$\frac{3}{2}$
会导致$\frac{3}{2}$被重复减掉

---

代码实现

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
#define MAXN 1000005
LL n, result;
int ok[MAXN];
int main() {scanf ( "%lld", &n );int sqt = sqrt ( n );for ( int i = 1;i <= sqt;i ++ ) {int t = i * ( 2 / ( sqrt ( 5 ) + 1 ) );ok[i] = i - t;}for ( LL i = 1;i <= sqt;i ++ )for ( LL j = i << 1;j <= sqt;j += i )ok[j] -= ok[i];for ( LL i = 1;i * i <= n;i ++ )result += ( n / ( i * i ) ) * ok[i];printf ( "%lld", result );return 0;
}

T2：电报

题目

给出 n 个点，每个点的出度均为 1，给出这 n 个点初始指向的点A[i] ，和改变这个点指向的目标所需要的价值 C[i]。
求让所有点强连通的最小花费。

输入格式
第一行输入一个数 n 表示点的个数。
之后的 n 行每行两个数 A[i]，C[i] 表示第 i 个点指向第 A[i] 个点，更改该点指向的点花费为 C[i]。
输出格式
共一行，为让所有点强连通的最小花费。

样例
样例输入 1
4
2 2
1 4
1 3
3 1
样例输出 1
4
样例解释 1

很显然，把 1–>2 的这条边改成 （花费 4）的情况下构成强连通分量花费最小。

样例输入 2
4
2 2
1 6
1 3
3 1
样例输出 2
5
样例解释 2
很显然把 1–>2 的这条边改成 1–>4 花费 2，把 3–>1 的这条边改成 3–>2 花费 3 的情况下构成强连通分量花费最小，总花费为 5。

样例输入 3
4
2 2
1 3
4 2
3 3
样例输出 3
4

样例输入 4
3
2 1
3 1
1 1
样例输出 4
0

题解

首先为了能变成强连通，树上的点彼此之间需要破掉，先不动环上的点

如图中：$7，8，9$和$10，11，12，13$就必须破掉，破成一条链

要么把$7\to 8$破掉，要么把$7\to 9$破掉，然后让$7-8-9$连成一条链

可以用拓扑排序找到不是环上的点，然后把这棵树破成链，如果本身是链就不进行操作

图就变成多个环和多棵树的形态

显然，环彼此之间是相互独立的，就可以扫一次先处理出所有的环

我们在上面进行树上破成链的时候，把环延伸的链或树也一起破掉

如图中：就把$6\to 7$和$6\to 10$都给破掉

接着如果变成强连通，环与环之间必须相互有路去连通

就是复活环与之外连的某一条边

意味着我们要把环破掉一条边和外界相连

那么这个时候，对于环上的最佳答案点肯定满足把它与它父亲在环上的边破掉，然后把它与自己延伸的链的点进行相连的操作花费最小

破环就是自己的$C$值，与链上的点保留一条边，就是找链上点的$C$的最大值

如图中：我们要把$6\to 1$破掉，复活$6\to 7$或者$6\to 10$任意一条边

而且必须复活至少一条，这样才能让环与外面进行连通

但是如果图上有多个点的复活值是负数，那么肯定是全选上，使答案变得更小

在上面破 环与链的边 的时候，我们就记录最大值的$C$，复活的时候，肯定复活这一条边，其他边的消耗远小于这一条边破掉的消耗

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最后我们来解释一下代码的一些地方，旁边的小姐姐问了我很久

• 为什么是建反图：
  想一想，如果我们建正图，每个点都只会有一个指向点，即每个点的vector里面都只有$1$个点，怎么破链，复活等以上的操作呢？
  换言之，每个点要知道自己的后继，才能知道破哪些边

• flag||tot>1的问题，我们要知道
  当只有环的时候，如果环是多个，也需要破掉，使所有环彼此强连通
  当只有一个环的时候，如果环上有链也需要破掉，不然环上的点无法走到链上的点
  所以这里是取或，当且仅当原图本身就是一个环才不用考虑复活

---

代码实现

这里定义isCircle[i]
1：表示这个点不在环上（PS：可能误导了许多亲故 ）
2：表示这个点在环上且已经经过了破树或破链处理
0：表示这个点在环上但等待被处理

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 100005
queue < int > q;
vector < int > G[MAXN], circle[MAXN];
int n, tot;
bool flag;
int a[MAXN], c[MAXN];
int d[MAXN], g[MAXN], isCircle[MAXN];
long long result;int main() {scanf ( "%d", &n );for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {scanf ( "%d %d", &a[i], &c[i] );G[a[i]].push_back ( i );d[a[i]] ++;}for ( int i = 1;i <= n;i ++ )if ( ! d[i] ) {q.push ( i );isCircle[i] = 1;flag = 1;}while ( ! q.empty() ) {int t = q.front();q.pop();d[a[t]] --;if ( ! d[a[t]] ) {q.push ( a[t] );isCircle[a[t]] = 1;}}for ( int i = 1;i <= n;i ++ ) {if ( isCircle[i] == 1 ) {//破树为链int Max = 0;for ( int j = 0;j < G[i].size();j ++ ) {Max = max ( Max, c[G[i][j]] );result += c[G[i][j]];}result -= Max;}else {for ( int j = 0;j < G[i].size();j ++ )if ( isCircle[G[i][j]] == 1 ) {//破环与外面延伸的链g[i] = max ( g[i], c[G[i][j]] );//记录一条链的最大值result += c[G[i][j]];}if ( isCircle[i] == 0 )tot ++;int x = i;while ( isCircle[x] == 0 ) {//分离出环isCircle[x] = 2;circle[tot].push_back ( x );x = a[x];}}}if ( flag || tot > 1 ) {for ( int i = 1;i <= tot;i ++ ) {int Min = 0x3f3f3f3f;for ( int j = 0;j < circle[i].size();j ++ )//复活Min = min ( Min, c[circle[i][j]] - g[a[circle[i][j]]] );if ( Min >= 0 )//必须复活的一条边result += Min;else {for ( int j = 0;j < circle[i].size();j ++ )if ( c[circle[i][j]] - g[a[circle[i][j]]] < 0 )//可多复活几条边result += c[circle[i][j]] - g[a[circle[i][j]]];//破掉i与fi的环上边的时候，接的那一条边肯定是接在fi上}}}printf ( "%lld", result );return 0;
}