正题

题目连接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7887?contestId=52021

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题目大意

给出三个长度为$n$的序列$x_i,y_i,z_i$，求一个序列$a$满足$0\le a_i<10^9+7$且
$$x_i\left(\sum _{j=1}^i{a}_j\right)+y_i\left(\sum _{j=i}^n{a}_j\right)\equiv z_i(mod10^9+7)$$

如果只有一组解就输出这组解

$1\le \sum n\le 2\times 10^5,1\le x_i,y_i<10^9+7,0\le z_i<10^9+7$

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解题思路

看到这个同余就感觉这题是个啥方程的做法类的
设$s_i={\sum }_{j=1}^i{a}_j$那么有
$$x_i{s}_i+y_i(s_n-s_{i-1})=z_i$$
这样我们就有了$s_i,s_{i-1},s_n$之间的关系式，而对于$s_1$我们可以直接得到它和$s_n$的关系式
$$x_1{s}_1+y_1{s}_n=z_1\Rightarrow s_1=\frac{z_1-y_1{s}_n}{x_1}$$

这样我们可以设$s_i=A_i+B_i{s}_n$，然后用上面的式子化为
$$s_i=\frac{z_i+y_i{s}_{i-1}-y_i{s}_n}{x_i}$$

推出后面的$A,B$，最后有
$$s_n=A_n+B_n{s}_n\Rightarrow s_n=\frac{A_n}{1-B_n}$$

当然$B_n=1$时需要判断$A_n$是否为$0$来得到解数。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=1e9+7;
ll T,n,x[N],y[N],z[N],a[N],b[N],s[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;x%=P;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
};
signed main()
{scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&y[i],&z[i]);ll inv=power(x[1],P-2);a[1]=z[1]*inv%P;b[1]=(P-y[1])*inv%P;for(ll i=2;i<=n;i++){inv=power(x[i],P-2);a[i]=(a[i-1]*y[i]%P+z[i])*inv%P;b[i]=(b[i-1]*y[i]%P-y[i]+P)%P*inv%P;}if(b[n]==1){printf("%lld\n",a[n]?0:P);continue;}s[n]=a[n]*power((1-b[n]+P)%P,P-2)%P;for(ll i=1;i<n;i++)s[i]=(a[i]+b[i]*s[n]%P)%P;puts("1");for(ll i=1;i<=n;i++)printf("%lld ",(s[i]-s[i-1]+P)%P);putchar('\n');} return 0;
}