正题

题目链接:http://noip.ybtoj.com.cn/contest/596/problem/1

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题目大意

$T$组询问给出$n$求有多少个$n$的排列满足第一个是$1$并且相邻的差不超过$2$。

$1\le T\le 10^6,1\le n\le 10^9$

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解题思路

考虑一下如果我们要不断向前填满前面的一段的话，那么填的方案就只有两种，$(x,x+1)$和$(x,x+2,x+1,x+3)$，这样一下会跳$1$或者$3$。

然后还有一种方法是一直往前跳两格然后再跳回来，但是这样就直接结束了。

设$f_i$表示按照最前面那两种方法铺$i$个的方案，那么答案就是$({\sum }_{i=1}^n{f}_i)-f_{n-1}$，减去$n-1$是因为会被$f_n$算重。

然后矩阵乘法+分块预处理光速幂做就好了。

时间复杂度$O(4^3(\sqrt{10^9}+T))$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
#define file(x) freopen("data"#x".in","r",stdin);freopen("data"#x".out","w",stdout);
using namespace std;
const ll N=5e5+10;
struct node{ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,m,tot=1,ls[N],fa[N],dep[N],s[N],f[N],ans,num;
vector<ll> T[N];
void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll from){dep[x]=dep[fa[x]]+1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(i==from)continue;else if(dep[y]){if(dep[y]<=dep[x])s[x]++,s[fa[y]]--;continue;}T[x].push_back(y);fa[y]=x;dfs(y,i^1);s[x]+=s[y];}num+=(s[x]==0);return;
}
void calc(ll x){f[x]=(s[x]==0);dep[x]=1;for(ll i=0;i<T[x].size();i++){ll y=T[x][i];calc(y);ans+=f[x]*dep[y]+f[y]*dep[x];dep[x]+=dep[y];f[x]+=(s[x]==0)*dep[y]+f[y];}return;
}
signed main()
{file(2);scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}dfs(1,0);calc(1);printf("%lld\n",n*(n-1)/2ll*num-ans);return 0;
}