失配树

名字看起来挺高级的，然而其实就是 \(\text{KMP}\) 上树啦。

我们将每个点的 \(nex[i]\) 与 \(i\) 连边，那么最终 \(border\) 关系会形成一棵树，之后就可以在树上搞事情啦！

P5829 【模板】失配树

这题比较裸，直接根据定义建树之后对于两个前缀求出在 \(fail\) 树上的最近公共祖先即可。

$\texttt{code}$

// Author:A weak man named EricQian
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define infll 0x7f7f7f7f7f7f7f7f
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Maxn 1000005
#define Maxpown 22
typedef long long ll;
inline int rd()
{int x=0;char ch,t=0;while(!isdigit(ch = getchar())) t|=ch=='-';while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();return x=t?-x:x;
}
int n,q,tot;
int pre[Maxn],dep[Maxn];
int fa[Maxn][Maxpown];
char s[Maxn];
inline int query(int x,int y)
{if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);for(int i=20;i>=0;i--) if(dep[fa[y][i]]>=dep[x]) y=fa[y][i];if(x==y) return fa[x][0];for(int i=20;i>=0;i--) if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];return fa[x][0];
}
int main()
{//ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);//freopen(".in","r",stdin);//freopen(".out","w",stdout);scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);for(int i=2,j=0;i<=n;i++){while(j && s[i]!=s[j+1]) j=pre[j];if(s[i]==s[j+1]) j++;pre[i]=j,fa[i][0]=j,dep[i]=dep[j]+1;}for(int i=1;i<=20;i++)for(int j=1;j<=n;j++)fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];q=rd();for(int i=1,x,y;i<=q;i++) x=rd(),y=rd(),printf("%d\n",query(x,y));//fclose(stdin);//fclose(stdout);return 0;
}

小插曲：(小声)

ZCETHAN 告诉 EricQian 这一题用失配树做，EricQian 立刻表示它不会失配树。【过了 5 秒】EricQian 大声喊道：我发明了失配树！

CF432D Prefixes and Suffixes

题意：给你一个长度为 \(n\) 的长字符串，“完美子串”既是它的前缀也是它的后缀，求“完美子串”的个数且统计这些子串的在长字符串中出现的次数。

我们发现对于一个前缀的出现个数其实就是：(难以表述直接用伪代码列出了)

len=这个前缀的长度 
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i;j;j=nex[j])ans+=(j==len)?1:0;

之后我们发现对于同一个前缀它可能被访问多次，这个可以直接倒换循环顺序实现 \(O(n)\) 解决。(于是你就发明的失配树)

$\texttt{code}$

// Author:A weak man named EricQian
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define infll 0x7f7f7f7f7f7f7f7f
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Maxn 100005
typedef long long ll;
inline int rd()
{int x=0;char ch,t=0;while(!isdigit(ch = getchar())) t|=ch=='-';while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();return x=t?-x:x;
}
inline ll maxll(ll x,ll y){ return x>y?x:y; }
inline ll minll(ll x,ll y){ return x<y?x:y; }
inline ll absll(ll x){ return x>0ll?x:-x; }
inline ll gcd(ll x,ll y){ return (y==0)?x:gcd(y,x%y); }
int n,tot;
int nex[Maxn],cnt[Maxn];
int ans[Maxn][2];
char s[Maxn];
int main()
{//ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);//freopen(".in","r",stdin);//freopen(".out","w",stdout);scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);for(int i=2,j=0;i<=n;i++){while(j && s[i]!=s[j+1]) j=nex[j];if(s[i]==s[j+1]) j++;nex[i]=j;}for(int i=n;i>=1;i--) cnt[i]++,cnt[nex[i]]+=cnt[i];
//	 for(int i=1;i<=n;i++)
//	 	 for(int j=i;j;j=nex[j]) cnt[j]++;ans[++tot][0]=n,ans[tot][1]=1;for(int i=nex[n];i;i=nex[i])ans[++tot][0]=i,ans[tot][1]=cnt[i];printf("%d\n",tot);for(int i=tot;i>=1;i--) printf("%d %d\n",ans[i][0],ans[i][1]);//fclose(stdin);//fclose(stdout);return 0;
}

P2375 [NOI2014] 动物园

这道题可以根本不用往失配树去理解，我们发现每一次最长合法 \(\text{border}\) 的长度最多只会增加 \(1\)，那么直接暴力跑 \(\text{KMP}\) 并及时处理 \(\text{border}\) 长度大于一半的情况即可。

一些正确性证明：如果这个位置的 \(\text{border}\) 长度大于了 \(\frac{i}{2}\)，这个 \(\text{border}\) 的后缀起始点将永远不再会成为答案，因此跳出这个 \(\text{border}\) 一定是对的。

$\texttt{code}$

// Author:A weak man named EricQian
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define infll 0x7f7f7f7f7f7f7f7f
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Maxn 1000005
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
inline int rd()
{int x=0;char ch,t=0;while(!isdigit(ch = getchar())) t|=ch=='-';while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();return x=t?-x:x;
}
inline ll maxll(ll x,ll y){ return x>y?x:y; }
inline ll minll(ll x,ll y){ return x<y?x:y; }
inline ll absll(ll x){ return x>0ll?x:-x; }
inline ll gcd(ll x,ll y){ return (y==0)?x:gcd(y,x%y); }
int n,ans;
char s[Maxn];
int nex[Maxn],dep[Maxn];
int main()
{//ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);//freopen(".in","r",stdin);//freopen(".out","w",stdout);int T=rd();while(T--){scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1),ans=1;dep[1]=1;for(int i=2,j=0;i<=n;i++){while(j && s[i]!=s[j+1]) j=nex[j];if(s[i]==s[j+1]) j++;nex[i]=j,dep[i]=dep[j]+1;}for(int i=2,j=0;i<=n;i++){while(j && s[i]!=s[j+1]) j=nex[j];if(s[i]==s[j+1]) j++;while(j*2>i) j=nex[j];ans=1ll*ans*(1ll*dep[j]+1ll)%mod;}printf("%d\n",ans);}//fclose(stdin);//fclose(stdout);return 0;
}

P3426 [POI2005]SZA-Template

考虑设 \(dp(i)\) 表示主串的前缀 \([1,i]\) 需要的最短长度。

容易发现在失配树上 \(dp(i)\) 沿着树成单调递增关系，考虑 \(dp(i)\) 与 \(dp(nex_i)\) 的关系。

如果 \(dp(i)\in (dp(nex_i),nex_i]\)，由于 \([1,i]\) 的一个 border 为 \(dp(nex_i)\)，所以 \(dp(nex_i)\) 也一定能够生成这个串。

所以 \(dp(i)\) 能够生成的串一定是 \(dp(nex_i)\) 能够生成的真子集，即答案取 \(dp(nex_i)\) 一定比 \((dp(nex_i),nex_i]\) 优。

因此我们只用判断能否由 \(dp(nex_i)\) 生成 \([1,i]\) 即可，具体即记录 \(dp(nex_i)\) 能够生成的最长串 \(s\)，如果 \(|s|+|dp(nex_i)|\ge i\) 即可。

如果上述情况不成立，意味着 \(dp(i)=i\)。

$\texttt{code}$

// Author:A weak man named EricQian
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define infll 0x7f7f7f7f7f7f7f7f
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Maxn 500005
typedef long long ll;
inline int rd()
{int x=0;char ch,t=0;while(!isdigit(ch = getchar())) t|=ch=='-';while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar();return x=t?-x:x;
}
inline ll maxll(ll x,ll y){ return x>y?x:y; }
inline ll minll(ll x,ll y){ return x<y?x:y; }
inline ll absll(ll x){ return x>0ll?x:-x; }
inline ll gcd(ll x,ll y){ return (y==0)?x:gcd(y,x%y); }
int n;
int nex[Maxn],maxx[Maxn],dp[Maxn];
char s[Maxn];
int main()
{//ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);//freopen(".in","r",stdin);//freopen(".out","w",stdout);scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);for(int i=2,j=0;i<=n;i++){while(j && s[i]!=s[j+1]) j=nex[j];if(s[i]==s[j+1]) j++;nex[i]=j;}for(int i=1;i<=n;i++){if(maxx[dp[nex[i]]]+dp[nex[i]]>=i) dp[i]=dp[nex[i]];else dp[i]=i;maxx[dp[i]]=i;}printf("%d\n",dp[n]);//fclose(stdin);//fclose(stdout);return 0;
}