正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/20107/B

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题目大意

给出一个$w\times h$的网格图，然后要求在上面选出$n$个格点，使得它们在一条直线上且两两之间距离不小于$d$。

$1\le T\le 20,1\le w,h,d\le 500,1\le n\le 50$

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解题思路

先只考虑横竖和斜向右下的直线
显然是枚举直线更加迅速，可以枚举一个斜率$\frac{a}{b}$，然后为了防止算重我们考虑起点也就是我们选择的最第一个点，对于起点在$(0,0)\sim (w-ka,h-kb)$的矩形内的点，右下角至少还有$k$个点可以选择，我们可以枚举这个$k$，然后暴力统计。这样一次复杂度是O(min{wa,hb})O(min\{\frac{w}{a},\frac{h}{b}\})O(min{aw​,bh​})，类似于调和级数不是很大。

之后考虑统计选择的方案，设$f_{i,j,k}$表示选择的两个之间要至少相隔$i$，有$j$个可以选，选择$k$个的方案，这个可以直接$dp$。

就可以过了，时间复杂度：$O(whn+Twh\log wh)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=510,P=1e9+7;
ll T,n,w,h,D,ans,d[N][N];
int f[N][N][N];
signed main()
{scanf("%lld",&T);for(ll i=1;i<=500;i++)d[i][0]=d[0][i]=i;for(ll i=1;i<=500;i++)for(ll j=1;j<=i;j++)d[i][j]=d[j][i]=d[j][i%j];for(ll i=1;i<=500;i++){f[i][0][0]=1;for(ll j=1;j<=500;j++){for(ll k=0;k<=500;k++)f[i][j][k]=f[i][j-1][k];if(j>=i)for(ll k=1;k<=500;k++)(f[i][j][k]+=f[i][j-i][k-1])%=P;}}while(T--){scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&w,&h,&D);if(n==1){printf("%lld\n",(w+1)*(h+1)%P);continue;}ans=0;for(ll i=0;i<=w;i++)for(ll j=0;j<=h;j++){if(d[i][j]!=1)continue;ll k,last=0,ub=1;if(i!=0&&j!=0)ub=2;ll dis=ceil(D/sqrt(i*i+j*j));for(k=1;k;k++){if(k*i>w||k*j>h)break;ll L=w-k*i+1;ll R=h-k*j+1;(ans+=L*R%P*(1ll*(f[dis][k][n-1]-f[dis][k-1][n-1]))*ub%P)%=P;}}printf("%lld\n",(ans+P)%P);}return 0;
}