复杂度分析的必要性：

当给我们一段代码时，我们是以什么准则来判断代码效率的高低呢？每一段代码都会消耗一段时间，或占据一段数据空间，那么自然是在实现相同功能的情况下，代码所耗时间最少，所占据空间最小的代码效率更优。所以对于所耗时间，我们采用时间复杂度进行分析，对于所占空间，我们采用空间复杂度进行分析。

时间复杂度：

在问题中，我们将题目中数据的频数成为n。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)。我们想要知道当n不断变化时，T（n）的变化规律。若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

大O符号表示法的引入：

下面我们先来看这一段代码：

1|for(i=1; i<=n; ++i)
2|{
3|  j = i;
4|  j++;
5|}

假设每行代码的执行时间都是相同的，假设为1。

则第1行执行时间是1，第3行执行时间为n，第4行执行时间为n。所以有T(n) = (2n + 1)，

有当n趋于无穷大时，+1， 与*2 的意义可以忽略。所以时间复杂度记为O（n）。

常见的时间复杂度量级：

常数阶O(1)
对数阶O(logN)
线性阶O(n)
线性对数阶O(nlogN)
平方阶O(n2)
立方阶O(n3)
K次方阶O(nk)
指数阶(2n)

复杂度从上到下越来越大，执行效率越来越低下

下面对一些复杂度举例分析：

1，常数阶——无论有多少行，其复杂度不随n的变化而变化。

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

 2，线性阶O(n):

如上文举例所示。

3，对数阶O(logN)：

int i = 1;
while(i<n)
{i = i * 2;
}

while循环中，将i * 2，i变化的越来越快，离n也越来越近。假设循环x次后，i就大于2了；所以有

2的x次方等于n，所以x = log2^n,所以代码的时间复杂度为O(logN)；

4，线性对数阶O(NlogN)：

就是将线性阶循环N次，便是线性对数阶。

for(m=1; m<n; m++)
{i = 1;while(i<n){i = i * 2;}
}

5，k次方阶：

就是k层循环嵌套。

经典算法的时间复杂度分析：

一般算法题或笔试题的时间限制为1s，或2s以内；故c++的操作次数一般控制在10^7 ~ 10^8为佳。

log(10^x)≈3*x。

调和级数的时间复杂度为O（logN）；

分母只取质数的调和级数时间复杂度为O（loglogN）；

而在不同数据范围内，应该选择怎样的算法与时间复杂度：

· 当N <= 30, ——指数级别，dfs + 剪枝，状压DP；

· 当N <= 100, ——O（N^3） 或O（N^3 logN） floyd算法，或普通dp

· 当N <= 1000.——O(N^2) 或 O(N ^ 2 logN)  dp,  二分

· 当N <= 10000 —— O(N * )，块状链表。

· 当N  <= 10^5——O（N logN），各种排序，线段树，树状数组，set/map，heap，堆优化版Dijkstra，spfa，二分，求半平面交

· 当N <= 10^6 —— O（N）以及常数较小的O（NlogN）hash，单调队列，双指针，BFS，并查集，kmp，AC自动机。（常数较小的O（NlogN））sort、树状数组、heap、dijkstra、spfa

·当N ≤ 10^7—— O(n)双指针扫描、kmp、AC自动机、线性筛素数

· 当N <= 10^9——O() 判断质数，试除法求质数，试除法求所有约数，试除法分解质因数

` 当N <= 10 ^ 18——O（logN）最大公约数，快速幂，数位DP

· 当n≤10^1000——O（logN * loglogN）k表示位数，高精度加减乘除