T1：A Twisty Movement

题目

题目

题解

因为$a_i$=$1/2$，于是我们可以确定答案一定是：$[1,1,1,\dots ][2,2,2\dots ][1,1,1\dots ][2,2,2\dots ]$这样的四段子序列（每一段都允许为空）中第二、三段所在区间翻转得到

我们可以从左往右做前缀和$pre[i]$表示$[1,i]$出现$1$的个数，后缀和$suf[i]$表示$[i,n]$出现$2$的个数

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然后我们枚举二、三段的分界点$k,k\in [1,n+1]$，再设一、二段的分界点为$p,p\in [1,k]$，三、四段的分界点为$q,q\in [k,n+1]$

那么答案为$(pre[p-1])+(suf[p]-suf[k])+(pre[q-1]-pre[k])+(suf[q])$

将式子中括号括起来的当为一个整体
这个式子可以化为：
$(pre[p-1]+suf[p]+pre[q-1]+suf[q])-(suf[k]+pre[k])$
$p\in [1,k],q\in [k,n+1]$

发现对于一个确定的$k$，我们要最大化前面括号的式子
而第一个括号里面的东西可以用线段树维护下$pre[i-1]+suf[i]$
那么只用枚举$k$，再两次区间最大值查询，更新答案就好了

code

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 2005
int n, result;
int a[MAXN], pre[MAXN], suf[MAXN], tree[MAXN << 2];void insert ( int t, int l, int r, int id, int val ) {if ( l == r ) {tree[t] = val;return;}int mid = ( l + r ) >> 1;if ( id <= mid )insert ( t << 1, l, mid, id, val );elseinsert ( t << 1 | 1, mid + 1, r, id, val );tree[t] = max ( tree[t << 1], tree[t << 1 | 1] );
}int query ( int t, int l, int r, int L, int R ) {if ( L <= l && r <= R )return tree[t];int mid = ( l + r ) >> 1;int ans = 0;if ( L <= mid )ans = max ( ans, query ( t << 1, l, mid, L, R ) );if ( mid < R )ans = max ( ans, query ( t << 1 | 1, mid + 1, r, L, R ) );return ans;
}int main() {scanf ( "%d", &n );for ( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf ( "%d", &a[i] );for ( int i = 1;i <= n;i ++ )pre[i] = pre[i - 1] + ( a[i] == 1 );for ( int i = n;i >= 1;i -- )suf[i] = suf[i + 1] + ( a[i] == 2 );for ( int i = 1;i <= n + 1;i ++ )insert ( 1, 1, n + 1, i, pre[i - 1] + suf[i] );for ( int i = 1;i <= n + 1;i ++ ) {int tmp1 = query ( 1, 1, n + 1, 1, i ), tmp2 = query ( 1, 1, n + 1, i, n + 1 );result = max ( result, tmp1 + tmp2 - pre[i - 1] - suf[i] ); }printf ( "%d", result );return 0;
}

T2：Add Points

题目

题目

题解

这道题实在不知道怎么讲，我觉得直接扔一句话就懂了
排完序后两两距离的最大公约数

code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100005
int n;
int x[MAXN];int gcd ( int x, int y ) {if ( ! y )return x;elsereturn gcd ( y, x % y );
}int main() {scanf ( "%d", &n );for ( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf ( "%d", &x[i] );sort ( x + 1, x + n + 1 );int d = x[2] - x[1];for ( int i = 2;i < n;i ++ ) {int dis = x[i + 1] - x[i];d = gcd ( d, dis );}int result = 0;for ( int i = 1;i < n;i ++ )result += ( x[i + 1] - x[i] ) / d - 1;printf ( "%d", result );return 0;
}

T3：The Monster

题目

题目

题解

其实还是有点意思，我认为比$T2$要难一点
首先直接纯暴力$2^{5000}$可以直接当场去世了

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考虑枚举起点，用$tot$记录，$($就$+1$，$)$就$-1$，
若$tot==0$，说明匹配成功$result++$

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对于$?$就麻烦一点了
$tot>0$，表示需要右括号匹配，使$?$为右括号，
因为右括号一定可以改为左括号（期待后面能够匹配成功），
因此$change++$（$change$为可以修改为左括号的$?$个数）

$tot<0$，$?$只能为左括号，并且不能计入num

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如果某一个时刻，$tot<0,num>0$，说明可以将之前的右括号改为左括号，则$tot+=2,num--$

剪枝部分：若$tot<0,num=0$，说明此序列当前及以后都不会合法，直接$break$

code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 5005
char s[MAXN];
int result, tot, change;int main() {scanf ( "%s", s );int len = strlen ( s );for ( int i = 0;i < len;i ++ ) {tot = 0, change = 0;for ( int j = i;j < len;j ++ ) {if ( s[j] == '(' )tot ++;else if ( s[j] == ')' ) tot --;else {if ( tot > 0 )tot --, change ++;elsetot ++;}if ( tot < 0 && change > 0 )tot += 2, change --;//°Ñ֮ǰµ±³É')'ÌṩµÄ-1¼Ó»ØÀ´ÔÙ¼ÓÉÏ'('µÄ¹±Ï× if ( tot < 0 && ! change )break;if ( ! tot )result ++;}}printf ( "%d", result ); return 0;
}

T4：Congruence Equation

题目

题目

题解

对于这种数论题只想说一句：不康题解：这神马玩意儿；康完题解：太水了

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$n\ast a^n\equiv b(modp)$，加上费马那一堆人的鬼定理
我们知道第一个乘数$n$的循环节是$p$
而指数$n$的循环节是$\phi (p)$，又因为$p$为质数，所以$\phi (p)=p-1$
综上$n\cdot a^n$有循环节$p\ast (p-1)$

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然后就可以设$n=j\ast (p-1)+i$，接着开始搞事
$$n\ast a^n\equiv b(modp)$$
$$(j\ast (p-1)+i)\ast a^{j\ast (p-1)+i}\equiv b(modp)$$
$$(j\ast p-j+i)\ast a^i\equiv b(modp)$$
$$(i-j)\ast a^i\equiv b(modp)$$
$$j\equiv i-\frac{b}{a^i}(modp)$$
然后就可以枚举$i$解出$j,n$搞到一个最小解，根据循环节算有几个
$$\frac{x-minn}{p\cdot (p-1)}$$

code

#include <cstdio>
#define int long long
int a, b, p, x, result;int qkpow ( int x, int y ) {int ans = 1;while ( y ) {if ( y & 1 )ans = ans * x % p;x = x * x % p;y >>= 1;}return ans;
}signed main() {scanf ( "%lld %lld %lld %lld", &a, &b, &p, &x );for ( int i = 1;i < p;i ++ ) {int j = ( i - b * qkpow ( qkpow ( a, i ), p - 2 ) % p + p ) % p;int minx = j * ( p - 1 ) + i;if ( minx <= x )result += ( x - minx ) / ( p * ( p - 1 ) ) + 1;}printf ( "%lld", result );return 0;
}