50. Pow(x, n)

快速幂算法的目的，就是快速计算 x 的 n 次方。基本思路是把 n 视作二进制数，则 n 可以被分解为多个 2 的幂次方之和，如 12 对应 1100 等于 $0\ast 2^0+0\ast 2^1+1\ast 2^2+1\ast 2^3$，即二进制数中每一位的0或1对应的正是系数。因此，$x^{12}=x^{0\ast 2^0}+x^{0\ast 2^1}+x^{1\ast 2^2}+x^{1\ast 2^3}$。从 n 的二进制形式可以得到系数，而对应的 x 的二次幂可以通过 x 自乘得到（$x=x^{2^0},x\ast x=x^{2^1},x^2\ast x^2=x^{2^2}......$）。实现上可以使用递归或者迭代，迭代的空间复杂度更优：

递归法：

class Solution:def myPow(self, x: float, n: int) -> float:def quickMul(N: int):if N == 0:return 1.0y = quickMul(N // 2)return y * y if N % 2 == 0 else y * y * xreturn quickMul(n) if n >= 0 else 1.0 / quickMul(-n)

迭代法：

class Solution:def myPow(self, x: float, n: int) -> float:if x == 0.0: return 0.0ans = 1if n < 0: x = 1 / xn = -nwhile n:if n & 1: ans *= xx *= xn >>= 1return ans

372. 超级次方

做这题需要知道的公式是：$$(a\ast b)\%MOD=((a\%MOD)\ast (b\%MOD))\%MOD$$

class Solution:# 快速幂算法def quick_mul(self, x: int, n: int) -> int:MOD = 1337ans = 1while n:if n & 1:ans = ans * x % MODx = x * x % MODn >>= 1return ansdef superPow(self, a: int, b: List[int]) -> int:MOD = 1337ans = 1x = a % MODfor y in b[::-1]:ans = ans * self.quick_mul(x, y) % MODx = self.quick_mul(x, 10)return ans

关键是两点：一是根据公式，增加了多次取模操作（MOD）；二是由于指数存储在了数组中，从右到左遍历是低位到高位，两种方法，一是用一个变量记录当前是第几位，则从数组取出来的数与 10 的多少次方相乘，二是每次将底数 x 乘以 10 次方，这样也相当于指数乘以 10，例如 $x^{123}=(x^1{)}^3+(x^{10}{)}^2+(x^{100}{)}^1$。