509. 斐波那契数

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：

输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：

输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
提示：

0 <= n <= 30

动态规划（版本一）

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:# 排除 Corner Caseif n == 0:return 0# 创建 dp table dp = [0] * (n + 1)# 初始化 dp 数组dp[0] = 0dp[1] = 1# 遍历顺序: 由前向后。因为后面要用到前面的状态for i in range(2, n + 1):# 确定递归公式/状态转移公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]# 返回答案return dp[n]

动态规划（版本二）

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n <= 1:return ndp = [0, 1]for i in range(2, n + 1):total = dp[0] + dp[1]dp[0] = dp[1]dp[1] = totalreturn dp[1]

动态规划（版本三）

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n <= 1:return nprev1, prev2 = 0, 1for _ in range(2, n + 1):curr = prev1 + prev2prev1, prev2 = prev2, currreturn prev2

递归（版本一）

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n < 2:return nreturn self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶
2 阶
示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

动态规划（版本一）

空间复杂度为O(n)版本

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:if n <= 1:return ndp = [0] * (n + 1)dp[1] = 1dp[2] = 2for i in range(3, n + 1):dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]return dp[n]

动态规划（版本二）

空间复杂度为O(3)版本

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:if n <= 1:return ndp = [0] * 3dp[1] = 1dp[2] = 2for i in range(3, n + 1):total = dp[1] + dp[2]dp[1] = dp[2]dp[2] = totalreturn dp[2]

动态规划（版本三）

空间复杂度为O(1)版本

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:if n <= 1:return nprev1 = 1prev2 = 2for i in range(3, n + 1):total = prev1 + prev2prev1 = prev2prev2 = totalreturn prev2

746. 使用最小花费爬楼梯

旧题目描述：

数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i]（下标从 0 开始）。

每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。

示例 1：

输入：cost = [10, 15, 20]
输出：15
解释：最低花费是从 cost[1] 开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费 15 。
示例 2：

输入：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
输出：6
解释：最低花费方式是从 cost[0] 开始，逐个经过那些 1 ，跳过 cost[3] ，一共花费 6 。
提示：

cost 的长度范围是 [2, 1000]。
cost[i] 将会是一个整型数据，范围为 [0, 999] 。

动态规划（版本一）

class Solution:def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:dp = [0] * (len(cost) + 1)dp[0] = 0  # 初始值，表示从起点开始不需要花费体力dp[1] = 0  # 初始值，表示经过第一步不需要花费体力for i in range(2, len(cost) + 1):# 在第i步，可以选择从前一步（i-1）花费体力到达当前步，或者从前两步（i-2）花费体力到达当前步# 选择其中花费体力较小的路径，加上当前步的花费，更新dp数组dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])return dp[len(cost)]  # 返回到达楼顶的最小花费

动态规划（版本二）

class Solution:def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:dp0 = 0  # 初始值，表示从起点开始不需要花费体力dp1 = 0  # 初始值，表示经过第一步不需要花费体力for i in range(2, len(cost) + 1):# 在第i步，可以选择从前一步（i-1）花费体力到达当前步，或者从前两步（i-2）花费体力到达当前步# 选择其中花费体力较小的路径，加上当前步的花费，得到当前步的最小花费dpi = min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2])dp0 = dp1  # 更新dp0为前一步的值，即上一次循环中的dp1dp1 = dpi  # 更新dp1为当前步的最小花费return dp1  # 返回到达楼顶的最小花费

动态规划（版本三）

class Solution:def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:dp = [0] * len(cost)dp[0] = cost[0]  # 第一步有花费dp[1] = cost[1]for i in range(2, len(cost)):dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]# 注意最后一步可以理解为不用花费，所以取倒数第一步，第二步的最少值return min(dp[-1], dp[-2])

动态规划（版本四）

class Solution:def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:n = len(cost)prev_1 = cost[0]  # 前一步的最小花费prev_2 = cost[1]  # 前两步的最小花费for i in range(2, n):current = min(prev_1, prev_2) + cost[i]  # 当前位置的最小花费prev_1, prev_2 = prev_2, current  # 更新前一步和前两步的最小花费return min(prev_1, prev_2)  # 最后一步可以理解为不用花费，取倒数第一步和第二步的最少值