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七、树

7.1 树

7.1.1 树的定义

树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如族谱、单位的组织架构、等等。

树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树

树具有以下特点：

1. 每个结点有零个或多个子结点；
2. 没有父结点的结点为根结点；
3. 每一个非根结点只有一个父结点；
4. 每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；

7.1.2 树的相关术语

结点的度：

一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；

叶结点：

度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点

分支结点：

度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点

结点的层次：

从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推

结点的层序编号：

将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。

树的度：

树中所有结点的度的最大值

树的高度(深度)：

树中结点的最大层次

森林：

m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根 结点，森林就变成一棵树

孩子结点：

一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点

双亲结点(父结点)：

一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点

兄弟结点：

同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点

7.2 二叉树

7.2.1 二叉树的基本定义

二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)

满二叉树：

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

完全二叉树：

叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

7.2.2 二叉查找树

二叉查找树是一种特殊的二叉树，相对较小的值保存在左节点中，较大的值保存在右节点中。

根据对图的观察，我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们 设计一个结点类来描述结点这个事物。

结点类API设计

类名	Node<Key,Value>
构造方法	Node(Key key, Value value, Node left, Node right)：创建Node对象
成员变量	1.public Node left:记录左子结点 2.public Node right:记录右子结点 3.public Key key:存储键 4.public Value value:存储值

二叉树API设计

类名	BinaryTree<Key,Value>
构造方法	BinaryTree()：创建BinaryTree对象
成员变量	1.private Node root:记录根结点 2.private int N:记录树中元素的个数
成员方法	1. public void put(Key key,Value value):向树中插入一个键值对 2.private Node put(Node x, Key key, Value val)：给指定树x上，添加键一个键值对，并返回添加后的新树 3.public Value get(Key key):根据key，从树中找出对应的值 4.private Value get(Node x, Key key):从指定的树x中，找出key对应的值 5.public void delete(Key key):根据key，删除树中对应的键值对 6.private Node delete(Node x, Key key):删除指定树x上的键为key的键值对，并返回删除后的新树 7.public int size():获取树中元素的个数

7.2.3 代码实现

插入方法put实现思想：

1. 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用

2. 如果当前树不为空，则从根结点开始：

   2.1 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；

   2.2 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；

   2.3 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可。

查询方法get实现思想：

从根节点开始：

1. 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2. 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
3. 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。

删除方法delete实现思想：

1. 找到被删除结点；
2. 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
3. 删除右子树中的最小结点
4. 让被删除结点的左子树成为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右子树
5. 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode

package com.jg.tree;/*** 二叉树** @Author: 杨德石* @Date: 2020/7/5 15:00* @Version 1.0*/
public class BinaryTree {/*** 记录根结点*/private Node root;/*** 记录树中的元素个数*/private int n;public BinaryTree() {}/*** 向树中插入一个键值对** @param key* @param value*/public void put(Integer key, String value) {root = put(root, key, value);}/*** 给指定的数x上，添加一个键值对，并返回添加后的新数** @param tree* @param key* @param value* @return*/private Node put(Node tree, Integer key, String value) {if (tree == null) {// 直接把新结点当成根结点使用// 个数+1n++;return new Node(null, null, key, value);}// 新结点的key大于当前结点的key，继续找当前结点的右子结点if (key > tree.key) {tree.right = put(tree.right, key, value);} else if (key < tree.key) {// 新结点的key小于当前结点的key，继续找当前结点的左子结点tree.left = put(tree.left, key, value);} else {// 新结点的key等于当前结点的keytree.value = value;}return tree;}/*** 从树中找到对应的值** @param key* @return*/public String get(Integer key) {return get(root, key);}/*** 从指定的树x中，找出key对应的值** @param tree* @param key* @return*/private String get(Node tree, Integer key) {if (tree == null) {return null;}// 如果要查询的key大于当前节点的key。则继续查找当前节点的右子结点if (key > tree.key) {return get(tree.right, key);} else if (key < tree.key) {// 如果要查询的key小于当前节点的key。则继续查找当前节点的左子结点return get(tree.left, key);} else {// 要查找的key和当前结点的key相等，返回valuereturn tree.value;}}/*** 根据key，删除树中对应的键值对** @param key*/public void delete(Integer key) {root = delete(root, key);}private Node delete(Node tree, Integer key) {if (tree == null) {return null;}// 待删除的key大于当前节点的key，继续找当前节点的右子结点if (key > tree.key) {tree.right = delete(tree.right, key);} else if (key < tree.key) {tree.left = delete(tree.left, key);} else {// 待删除的key等于当前节点的key，说明当前结点就是要删除的结点// 1. 如果当前结点的右子树不存在，则直接返回当前结点的左子节点if (tree.right == null) {n--;return tree.left;}// 2. 如果当前结点的左子树不存在，则直接返回当前结点的右子节点if (tree.left == null) {n--;return tree.right;}// 3. 当前结点的左右子树都存在// 3.1 找到右子树中最小的结点Node minNode = tree.right;// 二叉查找树的左节点一定比右节点小，所以这里只需要遍历左节点if (minNode.left != null) {minNode = minNode.left;}// 到这里，就找到了当前节点右子树中最小的节点minNode// 3.2 删除右子树中最小的节点Node node = tree.right;while (node.left != null) {if (node.left.left == null) {// 说明n的左节点就是我们要找的最小结点node.left = null;} else {node = node.left;}}// 到这里，最小结点已经被删除// 3.3 让被删除结点的左子树成为最小结点的左子树。让被删除结点的右子树，成为最小结点的右子树minNode.left = tree.left;minNode.right = tree.right;// 3.4 让被删除结点的父节点指向最小结点tree = minNode;// 个数-1n--;}return tree;}public int size() {return n;}private static class Node {public Node left;public Node right;public Integer key;public String value;public Node(Node left, Node right, Integer key, String value) {this.left = left;this.right = right;this.key = key;this.value = value;}}
}class Test11 {public static void main(String[] args) {BinaryTree tree = new BinaryTree();tree.put(8, "雷霸天");tree.put(3, "张三");tree.put(7, "李四");tree.put(6, "田七");tree.put(9, "吴彦祖");System.out.println(tree.get(7));tree.delete(3);System.out.println(tree.size());}
}

7.2.4 二叉查找树其他方法

查找二叉树中最小的键

在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最小值，比如我们的树中存储的是学生的排名和姓名数 据，那么需要查找出排名最低是多少名？这里我们设计如下两个方法来完成：

方法	作用
public Key min()	找出树中最小的键
private Node min(Node x)	找出指定树X中，最小键所在的节点

查找二叉树中最大的键

在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最大值，比如比如我们的树中存储的是学生的成绩和学生 的姓名，那么需要查找出最高的分数是多少？这里我们同样设计两个方法来完成：

方法	作用
public Key max()	找出树中最大的键
public Node max(Node x)	找出指定树中最大键所在的节点

7.2.5 二叉树的基础遍历☆

很多情况下，我们可能需要像遍历数组数组一样，遍历树，从而拿出树中存储的每一个元素，由于树状结构和线性 结构不一样，它没有办法从头开始依次向后遍历，所以存在如何遍历，也就是按照什么样的搜索路径进行遍历的问 题。

我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访

问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：

1. 前序遍历； 先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
2. 中序遍历； 先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
3. 后序遍历； 先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点

如果我们分别对下面的树使用三种遍历方式进行遍历，得到的结果如下：

7.2.5.1 前序遍历

遍历API

方法	作用
public Queue preErgodic()	使用前序遍历，获取整个树中的所有键
private void preErgodic(Node x,Queue keys)	使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

实现过程中，我们通过前序遍历，把每个结点的键取出，放入到队列中返回即可。

实现步骤：

1. 把当前结点的key放入到队列中;
2. 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
3. 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树

    /*** 前序遍历** @return*/public Queue preErgodic() {Queue keys = new Queue();preErgodic(root, keys);return keys;}private void preErgodic(Node tree, Queue keys) {if (tree == null) {return;}// 1.把当前结点的key放入到队列中keys.enqueue(tree.key + "");// 2.找到当前节点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树if (tree.left != null) {preErgodic(tree.left, keys);}// 3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树if (tree.right != null) {preErgodic(tree.right, keys);}}

7.2.5.2 中序遍历

方法	作用
public Queue midErgodic()	使用中序遍历，获取整个树中的所有键
private void midErgodic(Node x,Queue keys)	使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

实现步骤：

1. 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2. 把当前结点的key放入到队列中;
3. 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树

    /*** 中序遍历** @return*/public Queue midErgodic() {Queue keys = new Queue();midErgodic(root, keys);return keys;}private void midErgodic(Node tree, Queue keys) {if (tree == null) {return;}// 1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树if (tree.left != null) {midErgodic(tree.left, keys);}// 2.把当前结点的key放入到队列中keys.enqueue(tree.key + "");// 3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树if (tree.right != null) {midErgodic(tree.right, keys);}}

7.2.5.3 后序遍历

方法	作用
public Queue afterErgodic()	使用后序遍历，获取整个树中的所有键
private void afterErgodic(Node x,Queue keys)	使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中

实现步骤：

1. 找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2. 找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
3. 把当前结点的key放入到队列中;

代码

    /*** 后序遍历** @return*/public Queue afterErgodic() {Queue keys = new Queue();afterErgodic(root, keys);return keys;}private void afterErgodic(Node tree, Queue keys) {if (tree == null) {return;}// 1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树if (tree.left != null) {afterErgodic(tree.left, keys);}// 2.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树if (tree.right != null) {afterErgodic(tree.right, keys);}// 3.把当前结点的key放入到队列中keys.enqueue(tree.key + "");}

7.2.5.4 层序遍历

所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：

那么层序遍历的结果是：EBGADFHC

API

方法	作用
public Queue layerErgodic()	使用层序遍历，获取整个树中的所有键

实现步骤：

1. 创建队列，存储每一层的结点；

2. 使用循环从队列中弹出一个结点：

   2.1获取当前结点的key；

   2.2如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中

   2.3如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中

代码

    /*** 层序遍历** @return*/public Queue layerErgodic() {// 创建一个队列，存储每一层的节点ArrayQueue<Node> nodes = new ArrayQueue<>(n);// 创建一个队列，用于存储遍历的节点Queue keys = new Queue();// 将当前节点存储到nodes中nodes.add(root);// 遍历queuewhile (!nodes.isEmpty()) {// 出列Node currentNode = nodes.remove(0);// 把节点的key存入到keys中keys.enqueue(currentNode.key + "");// 如果当前节点的左子节点不为空，则把左子节点放入到队列中if (currentNode.left != null) {nodes.add(currentNode.left);}// 如果当前节点的右子节点不为空，把右子节点放到队列中if (currentNode.right != null) {nodes.add(currentNode.right);}}return keys;}

非面向对象语言实现

    /*** 层序遍历* 对于面向对象语言** @return*/public Queue layerErgodic() {// 创建一个队列，存储每一层的节点Queue nodes = new Queue();// 创建一个队列，用于存储遍历的节点Queue keys = new Queue();// 将当前节点存储到nodes中nodes.enqueue(root.key + "");// 遍历queuewhile (!nodes.isEmpty()) {// 出列String key = nodes.dequeue();Node currentNode = getNode(root, Integer.parseInt(key));// 把节点的key存入到keys中keys.enqueue(currentNode.key + "");// 如果当前节点的左子节点不为空，则把左子节点放入到队列中if (currentNode.left != null) {nodes.enqueue(currentNode.left.key + "");}// 如果当前节点的右子节点不为空，把右子节点放到队列中if (currentNode.right != null) {nodes.enqueue(currentNode.right.key + "");}}return keys;}private Node getNode(Node tree, Integer key) {if (tree == null) {return null;}// 如果要查询的key大于当前节点的key。则继续查找当前节点的右子结点if (key > tree.key) {return getNode(tree.right, key);} else if (key < tree.key) {// 如果要查询的key小于当前节点的key。则继续查找当前节点的左子结点return getNode(tree.left, key);} else {// 要查找的key和当前结点的key相等，返回valuereturn tree;}}

7.2.5.5 最大深度问题 ☆

给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）;如下面这棵树的最大深度就是4

API设计

方法	作用
public int maxDepth()	计算整个树的最大深度
private int maxDepth(Node x)	计算指定树x的最大深度

实现步骤：

1. 如果根结点为空，则最大深度为0；
2. 计算左子树的最大深度；
3. 计算右子树的最大深度；
4. 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1

    /*** 计算最大深度** @return*/public int maxDepth() {return maxDepth(root);}private int maxDepth(Node tree) {if (tree == null) {return 0;}// 计算左右子树的最大深度int max = 0;int leftMax = 0;int rightMax = 0;// 计算左子树最大深度if (tree.left != null) {leftMax = maxDepth(tree.left);}// 计算右子树最大深度if (tree.right != null) {rightMax = maxDepth(tree.right);}// 将二者较大的一方赋值给max。当前树的最大深度就是max+1max = leftMax > rightMax ? leftMax + 1 : rightMax + 1;return max;}

7.2.6 折纸问题

需求：

请把一段纸条竖着放在桌子上，然后从纸条的下边向上方对折1次，压出折痕后展开。此时 折痕是凹下去的，即折 痕突起的方向指向纸条的背面。如果从纸条的下边向上方连续对折2 次，压出折痕后展开，此时有三条折痕，从上 到下依次是下折痕、下折痕和上折痕。 给定一 个输入参数N，代表纸条都从下边向上方连续对折N次，请从上到下打印所有折痕的方向 例如：N=1时，打印： down；N=2时，打印： down down up

我们把对折后的纸张翻过来，让粉色朝下，这时把第一次对折产生的折痕看做是根结点，那第二次对折产生的下折 痕就是该结点的左子结点，而第二次对折产生的上折痕就是该结点的右子结点，这样我们就可以使用树型数据结构 来描述对折后产生的折痕。

这棵树有这样的特点：

1. 根结点为下折痕；
2. 每一个结点的左子结点为下折痕；
3. 每一个结点的右子结点为上折痕；

实现步骤：

1. 定义结点类
2. 构建深度为N的折痕（树结构）
3. 使用中序遍历，打印出树中所有结点的内容

构建深度为N的折痕树：

1. 第一次对折，只有一条折痕，创建根节点
2. 如果不是第一次对折，判断当前节点左右子树是不是空
3. 如果是空，就给当前节点构建一个左子树（down）和一个右子树（up）
4. 获取当前树的左右子树，重复第2步骤

代码

public class PaperFold {public static void main(String[] args) {Node node = initTree(3);print(node);}/*** 使用中序遍历打印出所有的节点* @param tree*/private static void print(Node tree) {if(tree == null) {return;}print(tree.left);System.out.print(tree.item+",");print(tree.right);}/*** 构建深度为N的折痕树** @param n 需要构建的树的深度*/private static Node initTree(int n) {// 根节点Node root = null;// 循环n次for (int i = 0; i < n; i++) {if (i == 0) {// 第一次对折，创建根节点root = new Node("down", null, null);} else {// 不是第一次// 创建一个队列，将根节点存放到队列中PaperQueue queue = new PaperQueue();// 根节点入列queue.enqueue(root);// 遍历队列while (!queue.isEmpty()) {// 从队列中取出一个节点Node node = queue.dequeue();// 3. 获取当前树的左右子树，重复第2步骤Node left = node.left;Node right = node.right;// 判断左右子树是否为空，如果不为空，存入队列if (left != null) {queue.enqueue(left);}if (right != null) {queue.enqueue(right);}// 1. 如果不是第一次对折，判断当前节点左右子树是不是空if (node.left == null && node.right == null) {// 2. 如果是空，就给当前节点构建一个左子树（down）和一个右子树（up）node.left = new Node("down", null, null);node.right = new Node("up", null, null);}}}}return root;}// 定义结点类private static class Node {public String item;public Node left;public Node right;public Node(String item, Node left, Node right) {this.item = item;this.left = left;this.right = right;}}/*** 存放节点的队列*/private static class PaperQueue {/*** 首结点*/private QueueNode head;/*** 当前队列的元素个数*/private int n;/*** 记录最后一个结点*/private QueueNode last;public PaperQueue() {head = new QueueNode(null, null);last = null;n = 0;}/*** 判断队列是否为空** @return*/public boolean isEmpty() {return n == 0;}/*** 从队列中拿出一个元素** @return*/public Node dequeue() {if (isEmpty()) {return null;}// 不是空，出列// 获取当前的第一个元素(对应图中的1元素)QueueNode oldFirst = head.next;// 让head结点指向下一个结点（对应图中的2元素）head.next = head.next.next;// 个数-1n--;if (isEmpty()) {last = null;}return oldFirst.item;}/*** 往队列中插入一个元素** @param t*/public void enqueue(Node t) {// 判断last是否为nullif (last == null) {// last为空，要插入的元素就是lastlast = new QueueNode(t, null);// 让首结点指向lasthead.next = last;} else {// 不是第一个元素// 取出旧结点（last）QueueNode oldLast = last;// 创建新的结点给lastlast = new QueueNode(t, null);// 让旧的last元素指向新的结点oldLast.next = last;}// 个数+1n++;}private class QueueNode {public Node item;public QueueNode next;public QueueNode(Node item, QueueNode next) {this.item = item;this.next = next;}}}
}

7.3 堆

7.3.1 堆的定义

堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称，堆通常可以被看做是一棵完全二叉树的数组对象。

堆的特性：

1. 它是完全二叉树，除了树的最后一层结点不需要是满的，其它的每一层从左到右都是满的，如果最后一层结点不是满的，那么要求左满右不满。

   

2. 它通常用数组来实现。

具体方法就是将二叉树的结点按照层级顺序放入数组中，根结点在位置1，它的子结点在位置2和3，而子结点的子 结点则分别在位置4,5,6和7，以此类推。

如果一个结点的位置为k，则它的父结点的位置为[k/2],而它的两个子结点的位置则分别为2k和2k+1。这样，在不 使用指针的情况下，我们也可以通过计算数组的索引在树中上下移动：从a[k]向上一层，就令k等于k/2,向下一层就 令k等于2k或2k+1。

3. 每个结点都大于等于它的两个子结点。这里要注意堆中仅仅规定了每个结点大于等于它的两个子结点，但这两个子结点的顺序并没有做规定，跟我们之前学习的二叉查找树是有区别的。

API设计

类名	Heap
构造方法	Heap(int capacity)：创建容量为capacity的Heap对象
成员方法	1.private boolean less(int i,int j)：判断堆中索引i处的元素是否小于索引j处的元素 2.private void exch(int i,int j):交换堆中i索引和j索引处的值 3.public T delMax():删除堆中最大的元素,并返回这个最大元素 4.public void insert(T t)：往堆中插入一个元素 5.private void swim(int k):使用上浮算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置 6.private void sink(int k):使用下沉算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置
成员变量	1.private T[] imtes : 用来存储元素的数组 2.private int N：记录堆中元素的个数

7.3.2 代码实现

7.3.2.1 insert方法实现

堆是用数组完成数据元素的存储的，由于数组的底层是一串连续的内存地址，所以我们要往堆中插入数据，我们只 能往数组中从索引0处开始，依次往后存放数据，但是堆中对元素的顺序是有要求的，每一个结点的数据要大于等 于它的两个子结点的数据，所以每次插入一个元素，都会使得堆中的数据顺序变乱，这个时候我们就需要通过一些 方法让刚才插入的这个数据放入到合适的位置

所以，如果往堆中新插入元素，我们只需要不断的比较新结点a[k]和它的父结点a[k/2]的大小，然后根据结果完成 数据元素的交换，就可以完成堆的有序调整。

7.3.2.2 delMax删除最大元素方法

由堆的特性我们可以知道，索引1处的元素，也就是根结点就是最大的元素，当我们把根结点的元素删除后，需要 有一个新的根结点出现，这时我们可以暂时把堆中最后一个元素放到索引1处，充当根结点，但是它有可能不满足 堆的有序性需求，这个时候我们就需要通过一些方法，让这个新的根结点放入到合适的位置。

所以，当删除掉最大元素后，只需要将最后一个元素放到索引1处，并不断的拿着当前结点a[k]与它的子结点a[2k] 和a[2k+1]中的较大者交换位置，即可完成堆的有序调整。

7.3.2.3 具体代码

public class Heap {/*** 存储元素*/private Integer[] items;/*** 记录堆中的元素个数*/private int n;public Heap(int capacity) {items = new Integer[capacity + 1];n = 0;}/*** 判断堆中索引i处的元素是否小于索引j处的元素** @param i* @param j* @return*/private boolean less(int i, int j) {return items[i] < items[j];}/*** 交换堆中索引i处和索引j处的值** @param i* @param j*/private void exch(int i, int j) {int temp = items[i];items[i] = items[j];items[j] = temp;}/*** 判断堆中最大的元素，并返回这个最大元素** @return*/public Integer delMax() {// 获取最大值Integer max = items[1];// 交换索引1 处和索引n处的值exch(1, n);// 删除索引n处的值items[n] = null;// 个数-1n--;// 下沉sink(1);return max;}public int size() {return n;}/*** 往堆中插入一个元素** @param item*/public void insert(Integer item) {items[++n] = item;// 上浮swim(n);}/*** 使用上浮算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置** @param k*/private void swim(int k) {// 判断k是否大于1，大于1的情况下再上浮while (k > 1) {// 比较当前节点和父节点，如果父节点比当前结点小，那么就交换if (less(k / 2, k)) {exch(k / 2, k);}k = k / 2;}}/*** 使用下沉算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置** @param k*/private void sink(int k) {// 判断当前是不是数组末尾while (k * 2 <= n) {// 找到子节点中的较大者int maxIndex;if (k * 2 + 1 <= n) {// 存在右子结点if (less(k * 2, k * 2 + 1)) {// 左节点比右节点小maxIndex = k * 2 + 1;} else {maxIndex = k * 2;}} else {// 不存在右结点maxIndex = k * 2;}// 比较当前节点和子节点中的较大者，如果当前结点不小，就结束循环if (!less(k, maxIndex)) {break;}// 当前节点小，交换位置exch(k, maxIndex);k = maxIndex;}}public static void main(String[] args) {Heap heap = new Heap(11);heap.insert(5);heap.insert(1);heap.insert(2);heap.insert(8);heap.insert(7);heap.insert(9);heap.insert(11);heap.insert(4);heap.insert(6);heap.insert(10);heap.insert(3);while (heap.size() > 0) {int delValue = heap.delMax();System.out.println(delValue);}}}

7.3.3 堆排序☆

给定一个数组：

String[] arr = {“S”,“O”,“R”,“T”,“E”,“X”,“A”,“M”,“P”,“L”,“E”}

请对数组中的字符按从小到大排序。

实现步骤：

1. 构造堆；
2. 得到堆顶元素，这个值就是最大值；
3. 交换堆顶元素和数组中的最后一个元素，此时所有元素中的最大元素已经放到合适的位置；
4. 对堆进行调整，重新让除了最后一个元素的剩余元素中的最大值放到堆顶；
5. 重复2~4这个步骤，直到堆中剩一个元素为止。

API设计

类名	HeapSort
成员方法	1.public static void sort(int[] source)：对source数组中的数据从小到大排序 2.private static void createHeap(int[] source, int[] heap):根据原数组source，构造出堆heap 3.private static boolean less(int[] heap, int i, int j)：判断heap堆中索引i处的元素是否小于索引j处的元素 4.private static void exch(int[] heap, int i, int j):交换heap堆中i索引和j索引处的值 5.private static void sink(int[] heap, int target, int range):在heap堆中，对target处的元素做下沉，范围是0~range。

构造堆，最直观的就是直接把数组中的每一个元素都insert到堆中，这样新的数组就是一个堆。这样时间复杂度有点高了。

我们可以直接将原数组拷贝到items中，再从items中长度的一半位置处，从右往左扫描，对每一个元素进行下沉处理

代码实现

    public static void main(String[] args) {Integer[] arr = {3, 6, 1, 2, 9, 7, 8, 4, 5, 10, 11};sort(arr);for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.println(arr[i]);}}public static void sort(Integer[] arr) {// 构造堆// 创建一个比原数组大1的堆Heap heap = new Heap(arr.length);heap.initHeap(arr);// 构造堆int index = heap.size();while (index != 1) {heap.exch(1, index);index--;// 交换完了，下沉heap.sink(1, index);}// 堆中的数据已经有序，拷贝到arr中for (int i = 0; i < arr.length; i++) {arr[i] = heap.get(i + 1);}}/*** 根据数组构造堆** @param arr*/public void initHeap(Integer[] arr) {// 遍历数组，将数组中的元素添加到堆中for (int i = 0; i < arr.length; i++) {items[i + 1] = arr[i];n++;}// 从items的n/2位置遍历到1位置for (int i = n / 2; i > 0 ; i--) {sink(i, n);}}/*** 使用下沉算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置** @param k*/public void sink(int k, int end) {// 判断当前是不是数组末尾while (k * 2 <= end) {// 找到子节点中的较大者int maxIndex;if (k * 2 + 1 <= end) {// 存在右子结点if (less(k * 2, k * 2 + 1)) {// 左节点比右节点小maxIndex = k * 2 + 1;} else {maxIndex = k * 2;}} else {// 不存在右结点maxIndex = k * 2;}// 比较当前节点和子节点中的较大者，如果当前结点不小，就结束循环if (!less(k, maxIndex)) {break;}// 当前节点小，交换位置exch(k, maxIndex);k = maxIndex;}}

7.4 优先队列

普通的队列是一种先进先出的数据结构，元素在队列尾追加，而从队列头删除。在某些情况下，我们可能需要找出 队列中的最大值或者最小值，例如使用一个队列保存计算机的任务，一般情况下计算机的任务都是有优先级的，我 们需要在这些计算机的任务中找出优先级最高的任务先执行，执行完毕后就需要把这个任务从队列中移除。普通的 队列要完成这样的功能，需要每次遍历队列中的所有元素，比较并找出最大值，效率不是很高，这个时候，我们就 可以使用一种特殊的队列来完成这种需求，优先队列。

优先队列按照其作用不同，可以分为以下三种：

最大优先队列：

可以获取并删除队列中最大的值

最小优先队列：

可以获取并删除队列中最小的值

索引优先队列：

可以根据索引去操作队列中元素的值

7.4.1 最大优先队列

最大优先队列的实现就是堆的实现，前面已经讲解过了，这里不再重复介绍。

7.4.2 最小优先队列

最小优先队列实现起来也比较简单，我们同样也可以基于堆来完成最小优先队列。

我们前面学习堆的时候，堆中存放数据元素的数组要满足都满足如下特性：

1. 最大的元素放在数组的索引 1 处
2. 每个结点的数据总是大于或者等于它的两个子结点数据。

其实我们之前实现的堆可以把它叫做最大堆，我们可以用相反的思想实现最小堆，让堆中存放数据元素的数组满足 如下特性：

1. 最小的元素放在数组的索引 1 处
2. 每个结点的数据总是小于或者等于它的两个子结点数据。

这样我们就能快速的访问到堆中最小的数据。

API设计

类名	MinPriorityQueue
构造方法	MinPriorityQueue(int capacity)：创建容量为capacity的MinPriorityQueue对象
成员方法	1.private boolean less(int i,int j)：判断堆中索引i处的元素是否小于索引j处的元素 2.private void exch(int i,int j):交换堆中i索引和j索引处的值 3.public T delMin():删除队列中最小的元素,并返回这个最小元素 4.public void insert(T t)：往队列中插入一个元素 5.private void swim(int k):使用上浮算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置 6.private void sink(int k):使用下沉算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置 7.public int size():获取队列中元素的个数 8.public boolean isEmpty():判断队列是否为空
成员变量	1.private T[] imtes : 用来存储元素的数组 2.private int N：记录堆中元素的个数

代码实现

public class MinPriorityQueue {/*** 存储元素*/private Integer[] items;/*** 记录堆中的元素个数*/private int n;public MinPriorityQueue(int capacity) {items = new Integer[capacity + 1];n = 0;}/*** 判断堆中索引i处的元素是否小于索引j处的元素** @param i* @param j* @return*/private boolean less(int i, int j) {return items[i] < items[j];}/*** 交换堆中索引i处和索引j处的值** @param i* @param j*/private void exch(int i, int j) {int temp = items[i];items[i] = items[j];items[j] = temp;}public int size() {return n;}public boolean isEmpty() {return n == 0;}/*** 上浮算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置** @param k*/private void swim(int k) {// 如果没有父结点，就不再上浮while (k > 1) {// 如果当前节点比父结点小，就交换if (less(k, k / 2)) {exch(k, k / 2);}k = k / 2;}}/*** 下沉算法** @param k*/private void sink(int k) {// 如果没有子结点，就不需要下沉while (k * 2 <= n) {// 找出子结点中最小值的索引int minIndex = 2 * k;// 如果有右结点，并且右结点小于左节点if (k * 2 + 1 <= n && less(k * 2 + 1, k * 2)) {minIndex = 2 * k + 1;}// 如果当前节点小于子节点中的最小值，则结束循环if (less(k, minIndex)) {break;}// 当前节点大，交换exch(minIndex, k);;k = minIndex;}}/*** 插入方法** @param item*/public void insert(Integer item) {items[++n] = item;swim(n);}public Integer delMin() {// 取出最小值Integer min = items[1];// 交换最小值和最后一个值exch(1, n);// 删掉最后一个元素items[n] = null;// 元素个数-1n--;// 下沉sink(1);return min;}}class Test12 {public static void main(String[] args) {MinPriorityQueue queue = new MinPriorityQueue(11);queue.insert(5);queue.insert(1);queue.insert(2);queue.insert(8);queue.insert(7);queue.insert(9);queue.insert(11);queue.insert(4);queue.insert(6);queue.insert(10);queue.insert(3);while (queue.size() > 0) {int delValue = queue.delMin();System.out.println(delValue);}}
}

7.4.3 索引优先队列

在之前实现的最大优先队列和最小优先队列，他们可以分别快速访问到队列中最大元素和最小元素，但是他们有一 个缺点，就是没有办法通过索引访问已存在于优先队列中的对象，并更新它们。为了实现这个目的，在优先队列的 基础上，学习一种新的数据结构，索引优先队列。接下来我们以最小索引优先队列举列。

实现思路

步骤一：

存储数据时，给每一个数据元素关联一个整数，例如insert(int k,T t),我们可以看做k是t关联的整数，那么我们的实 现需要通过k这个值，快速获取到队列中t这个元素，此时有个k这个值需要具有唯一性。

最直观的想法就是我们可以用一个T[] items数组来保存数据元素，在insert(int k,T t)完成插入时，可以把k看做是 items数组的索引，把t元素放到items数组的索引k处，这样我们再根据k获取元素t时就很方便了，直接就可以拿到 items[k]即可。

步骤二：

步骤一完成后的结果，虽然我们给每个元素关联了一个整数，并且可以使用这个整数快速的获取到该元素，但是， items数组中的元素顺序是随机的，并不是堆有序的，所以，为了完成这个需求，我们可以增加一个数组int[]pq,来 保存每个元素在items数组中的索引，pq数组需要堆有序，也就是说，pq[1]对应的数据元素items[pq[1]]要小于等 于pq[2]和pq[3]对应的数据元素items[pq[2]]和items[pq[3]]

步骤三：

通过步骤二的分析，我们可以发现，其实我们通过上浮和下沉做堆调整的时候，其实调整的是pq数组。如果需要 对items中的元素进行修改，比如让items[0]=12,那么很显然，我们需要对pq中的数据做堆调整，而且是调整 pq[5]中元素的位置。但现在就会遇到一个问题，我们修改的是items数组中0索引处的值，如何才能快速的知道需 要挑中pq[5]中元素的位置呢？

最直观的想法就是遍历pq数组，拿出每一个元素和0做比较，如果当前元素是0，那么调整该索引处的元素即可， 但是效率很低。

我们可以另外增加一个数组，int[] qp,用来存储pq的逆序。例如： 在pq数组中：pq[2]=7; 那么在qp数组中，把7作为索引，2作为值，结果是：qp[7]=2;

当有了pq数组后，如果我们修改items[0]=12，那么就可以先通过索引0，在qp数组中找到qp的索引：qp[0]=5, 那么直接调整pq[5]即可。

API设计

类名	IndexMinPriorityQueue
构造方法	IndexMinPriorityQueue(int capacity)：创建容量为capacity的IndexMinPriorityQueue对象
成员方法	1.private boolean less(int i,int j)：判断堆中索引i处的元素是否小于索引j处的元素 2.private void exch(int i,int j):交换堆中i索引和j索引处的值 3.public int delMin():删除队列中最小的元素,并返回该元素关联的索引 4.public void insert(int i,T t)：往队列中插入一个元素,并关联索引i 5.private void swim(int k):使用上浮算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置 6.private void sink(int k):使用下沉算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置 7.public int size():获取队列中元素的个数 8.public boolean isEmpty():判断队列是否为空 9.public boolean contains(int k):判断k对应的元素是否存在 10.public void changeItem(int i, T t):把与索引i关联的元素修改为为t 11.public int minIndex():最小元素关联的索引 12.public void delete(int i):删除索引i关联的元素
成员变量	1.private T[] imtes : 用来存储元素的数组 2.private int[] pq:保存每个元素在items数组中的索引，pq数组需要堆有序 3.private int [] qp:保存qp的逆序，pq的值作为索引，pq的索引作为值 4.private int N：记录堆中元素的个数

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