矢量分析

1.矢量代数

1.1标量和矢量

标量：只有大小，没有方向的物理量。

矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。

1.2矢量的表示

1.2.1常矢量

大小和方向均不变的矢量，单位矢量不一定是常矢量。

1.2.2在直角坐标系下矢量的表示

1.3矢量的基本运算法则

1.3.1加法

矢量的加法是矢量的几何和，满足平行四边形规则，服从交换律和结合律。

在直角坐标系下，矢量的加法运算

1.3.2乘法

1.一个标量k与一个矢量A的乘积仍为矢量，k>0，kA与A同向，k<0，kA与A反向。

2.矢量的乘法有两种，叉积（矢量积）和点积（标量积）。

3.点积

4.叉积

两个矢量的叉积是一个矢量，它垂直于包含两个矢量的平面。

在直角坐标系下，叉积运算为：

5.三重积

标量三重积

矢量三重积

1.3.3矢量的混合运算

2.常用的正交坐标系

2.1直角坐标系

2.2圆柱坐标系

2.3球坐标系

2.4正交曲线坐标系

2.5坐标单位与矢量之间的关系

2.6矢量的坐标变换

2.6.1圆柱坐标系与直角坐标系的变换

2.6.2球坐标系与直角坐标系的变换

3.标量场的梯度

标量场和矢量场

确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场，如果物理量为标量，则称为标量场，如果物理量为矢量，则称为矢量场，如果场与时间无关，称为静态场，有关则为时变场，从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。

3.1标量场的等值面

3.1.1等值面

标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面，形象直观的描述了物理量在空间的分布状态，标量场的函数是单值函数，各个等值面是互不相交的。

3.1.2等值面方程

u(x,y,z)=C

3.1.3等值面的特点

1.常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族。

2.标量场的等值面充满场所在的整个空间。

3.2方向导数

方向导数表示场沿某方向的空间变化率。

3.3标量场的梯度

3.3.1概念

标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。

3.3.2计算公式

3.3.3梯度的性质

1.标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
2.标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。

3.标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）。

4.梯度的旋度恒等于0。

3.3.4梯度运算的基本公式

4.矢量场的散度

4.1矢量场的通量

4.1.1矢量线

在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线，矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向，形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。

矢量线的方程：

4.1.2通量

4.1.3矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果

1.如果闭合曲面上的总通量 大于0，说明穿出闭合面的通量大于穿入的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。

2.如果闭合曲面上的总通量小于 0，说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
3.如果闭合曲面上的总通量 等于 0，说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。

4.2矢量场散度

4.2.1定义和概念

矢量场中某点的通量密度称为该点的散度，散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。

表达式：

散度的计算链接

4.2.2散度定理（高斯定理）

概念：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分，散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系。

表达式：

4.3散度的计算公式

4.3.1常用坐标系下散度的计算公式

4.3.2常用坐标系中的坐标变量和拉梅系数

5.矢量场的旋度

5.1环流（环量）

定义：在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量，环量的大小与环面的方向有关。

表达式：

1.如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。

2.如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源，电流是磁场的旋涡源。

5.2 旋度

定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。

表达式：

5.3旋度的计算

旋度的计算链接

5.3.1旋度公式：

5.3.2不同坐标系下旋度的计算

1.直角坐标系

2.圆柱坐标系

3.球坐标系

4.广义正交坐标系

5.3.3旋度有关的计算

5.3.4斯托克斯定理

表达式：

含义：矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，一个矢量场旋度的面积分，等于该矢量沿此曲面周界的曲面积分。

5.3.5散度和旋度的区别

5.4无旋场与无散场

5.4.1矢量场的源

1.散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度。

2.旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。

5.4.2矢量场按源分类

1.无旋场

2.无散场

3.无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）

4.有散、有旋场

5.5拉普拉斯运算

5.6格林定理

5.7亥姆霍兹定理

第一章课件

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