文章目录
- 命题逻辑（语法Syntax)
- 由枚举推理（inference by enumeration
- 区别
- deduction(形式推演，演绎）
- 作业（定理证明）
-
logics：逻辑，表达信息的形式语言
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语法syntax
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语义semantics
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逻辑研究的内容：形式化定义句子之间的关系
- 语法：deduction(演绎（形式推演|—
- 语义 entailment蕴含（逻辑推导|=
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完备性：任何语义上蕴含的东西|=都可以在语法上推演出来|-
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可靠性：任何语法上可以推演|-的东西都是在语义上蕴含的|=
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哥德尔不完全定理：
- 在一个更大的范围内(证明法和问题与正整数存在一一对应关系），不存在既可靠sound又完备的定理
- 在一个更大的范围内(证明法和问题与正整数存在一一对应关系），不存在既可靠sound又完备的定理
-
一个句子α\alphaα：x+y=4
-
model这个句子的模型：它的一个真值指派x=0,y=4
-
M(α)M(\alpha)M(α)：句子的所有真值指派的集合,所有model
-
蕴含（entailment）：逻辑推导（语义上的）
- 句子间的关系
- KB∣=αKB|=\alphaKB∣=α
- KB–知识库knowledge base
- α\alphaα真<==>KB真
- 如果一个model(真值指派）能让α\alphaα真，则KB真
- 所以M(KB)⊆M(α)M(KB) \subseteq M(\alpha)M(KB)⊆M(α)
KB=Giants won and Reds won
α=\alpha=α=Giants won
命题逻辑（语法Syntax)
-
命题propositions：可以判断真假的陈述句
- 命题逻辑不考虑随时间变化的命题（今天是星期一）
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原子命题atomic propositions:最小的命题P/Q/R
-
文字：原子命题或它的反
-
允许的符号
- negation非：¬
- conjunction: 合取-且∧
- disjunction:析取-或∨
- implication：=>
- ==¬P∨Q
- biconditional:<=>
- 都相同为真
-
原子句=True|False|P|Q|R
-
句子=原子句子|复合句
-
复合句=用符号链接起来的句子(带括号的也是）
| P | Q | ¬P | P∧Q | P∨Q | P=>Q | P<=>Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| false | false | true | false | false | true | true |
| false | true | true | false | true | true | false |
| true | false | false | false | true | false | false |
| true | true | false | true | true | true | true |
由枚举推理（inference by enumeration
- 深度优先枚举是
- sound-可靠性
- complete -完备性
- KB |=α\alphaα—也就是真值表证明
- 用定义证：M(KB)⊆M(α)M(KB) \subseteq M(\alpha)M(KB)⊆M(α)
- 如果一个model让KB为真，且
- 让α\alphaα真，返回真；
- 让α\alphaα假，返回假
- 如果让KB假，也返回真
- 对所有model的结果取∧
- 如果一个model让KB为真，且
- 遍历所有model，如果他让KB真，且让α\alphaα真，则成立
- 时间复杂度O(2n),n个符号，2n种指派O(2^n),n个符号，2^n种指派O(2n),n个符号，2n种指派
- 是一个co-NPC问题
- KB |=α\alphaα<==>
- KB∧¬α\alphaα永假（unsatisfiable）
- KB |=α\alphaα<==> KB =>α\alphaα永真（valid）
- 真值表证明吧
- KB =>α\alphaα永真
- <==> ¬KB ∨α\alphaα永真
- <==>¬(KB∧ ¬α\alphaα)永真
- <==> KB∧¬α\alphaα永假（unsatisfiable）
- 用定义证：M(KB)⊆M(α)M(KB) \subseteq M(\alpha)M(KB)⊆M(α)
- $\beta |= \alpha 且 \alpha|=\beta $
- M(β)⊆M(α)且M(α)⊆M(β)M(\beta) \subseteq M(\alpha) 且 M(\alpha) \subseteq M(\beta)M(β)⊆M(α)且M(α)⊆M(β)==>$ M(\beta) = M(\alpha)$
区别
* entailment蕴含|=：* 逻辑上的概念，刻画两种句子之间的关系
* implication暗含=>* 命题之间的运算子，使用真值表刻画其语义
- validity符合逻辑的
- 对所有model为真(永真）
- eg：True,A∨¬A
- KB |=α\alphaα<==> KB =>α\alphaα永真（valid）
- 对所有model为真(永真）
- satisfiable可满足的：
- 存在正确的真值指派model
- eg：A∨B
- unsatisfiable不可满足:
- no model可以令它为真（永假）
- True,A∧¬A
- KB |=α\alphaα<==> KB∧¬α\alphaα永假（unsatisfiable）
deduction(形式推演，演绎）
–符号上面的形式推演，不用考虑语义
|—推出：Σ∣−A\Sigma |- AΣ∣−A
- 11条规则
- 自反：A|-A
- 增加前提：Σ∣−A\Sigma |- AΣ∣−A==>Σ,Σ′∣−A\Sigma,\Sigma' |- AΣ,Σ′∣−A
- ¬消去：
- Σ\SigmaΣ,¬ A |- B
- Σ\SigmaΣ,¬ A |- ¬B
- ==>Σ∣−A\Sigma |- AΣ∣−A
- ->-消去：->是=>
- Σ∣−A−>B\Sigma |- A->BΣ∣−A−>B
- Σ∣−A\Sigma |- AΣ∣−A
- ==>Σ∣−B\Sigma |- BΣ∣−B
- ->+引入：->是=>
- Σ,A∣−B\Sigma,A |- BΣ,A∣−B
- ==>Σ∣−A−>B\Sigma |- A->BΣ∣−A−>B
- <->-消去：<->是<=>
- aΣ∣−A<−>B\Sigma |- A<->BΣ∣−A<−>B
- Σ∣−A\Sigma |- AΣ∣−A
- ==>Σ∣−B\Sigma |- BΣ∣−B.
- bΣ∣−A<−>B\Sigma |- A<->BΣ∣−A<−>B
- Σ∣−B\Sigma |- BΣ∣−B
- ==>Σ∣−A\Sigma |- AΣ∣−A
- <->+引入：<->是<=>
- Σ,A∣−B\Sigma,A |- BΣ,A∣−B
- Σ,B∣−A\Sigma,B |- AΣ,B∣−A
- ==>Σ∣−A−>B\Sigma |- A->BΣ∣−A−>B
- ∧-消除：
- Σ∣−A∧B\Sigma |- A∧BΣ∣−A∧B
- ==>Σ∣−A\Sigma |- AΣ∣−A
- ==>Σ∣−B\Sigma |- BΣ∣−B
- ∧+引入：
- Σ∣−A\Sigma |- AΣ∣−A
- Σ∣−B\Sigma |- BΣ∣−B
- ==>Σ∣−A∧B\Sigma |- A∧BΣ∣−A∧B
- ∨- 消去
- Σ,A∣−C\Sigma ,A |- CΣ,A∣−C
- Σ,B∣−C\Sigma ,B |- CΣ,B∣−C
- ==>$\Sigma ，A∨B |-C $
- ∨引入
- Σ∣−A\Sigma |- AΣ∣−A
- ==>$\Sigma |- A∨B $
- ==>$\Sigma |- B∨A $
- ∈\in∈
- A∈ΣA \in \SigmaA∈Σ
- ==>Σ∣−A\Sigma |- AΣ∣−A
- 若A∈Σ且Σ′=Σ−{A}A \in \Sigma 且\Sigma'=\Sigma-\{A\}A∈Σ且Σ′=Σ−{A}
- A |- A
- A,Σ′∣−AA,\Sigma' |- AA,Σ′∣−A
作业（定理证明）
- 2.6.3
