• 监督学习

  • 监督学习需要标注数据，学习一个可靠的模型需要大量标注数据
  • 但是标注数据费时费力！

• 无标注数据可以做什么？–>可以给出更有意义的分类边界

  • 同一类样本服从一致的分布

• 半监督学习：让学习器不依赖外界交互、自动地利用无标注数据提升学习性能

  • 半监督分类/回归
    • 给定: 标注数据 𝐷 = { 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 … (𝑥l, 𝑦l)}，无标注数据 𝐷𝑢 = {𝑥l+1, 𝑥l+2, … 𝑥l+𝑢}(通常 𝑢 ≫ l)
    • 目标: 学习一个分类器 f ，比只用标注数据学的更好
  • 半监督聚类/降维
    • 给定: 标注数据 {𝑥𝑖}𝑚, 目的是聚类或者降维。另外给出: 对数据的一些限制
    • 例如, 对于聚类: 两个点必须在一个簇, 或两个点一定不能在一个簇; 对于降维:两个点降维后必须接近
  • 归纳学习 (Inductive learning)：开放世界
    • 给训练数据𝐷 = { 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 … (𝑥𝑙, 𝑦𝑙)}, 无标注数据 𝐷𝑢 = 𝑥𝑙+1, 𝑥𝑙+2, … 𝑥𝑙+𝑢 通常𝑢 ≫ 𝑙
    • 学习函数f用于预测新来的测试数据的标签
    • 学习一个函数能够被应用到测试数据上
  • 直推学习(Transductive learning)：封闭世界
    • 给定训练数据 𝐷 = { 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 … (𝑥𝑙, 𝑦𝑙)}, 无标注数据𝐷𝑢 = 𝑥𝑙+1, 𝑥𝑙+2, … 𝑥𝑙+𝑢
    • 可以没有显式地学习函数，我们所关心的就是在𝐷𝑢上的预测
    • 𝐷𝑢是测试集，并且在训练时可以使用

• 图方法

	目标函数	备注
最小割	$mi{n}_f\infty {\Sigma }_{i=1}^l(y_i-Y_{li}{)}^2+{\Sigma }_{ij}{w}_{ij}(y_i-y_j{)}^2$	—
调和函数之自我训练	$$\begin{gathered} E(f)={\Sigma }_{i-j}{w}_{ij}(y_i-y_j{)}^2 \\ f(x_i)=\frac{{\Sigma }_{j-i}{w}_{ij}f(x_j)}{{\Sigma }_{j-i}{w}_{ij}},任意x_i\in X_u \end{gathered}$$，迭代至收敛	固定已有标注，如果标注存在错误怎么办？想要更灵活，希望偶尔不服从给定的标注
调和函数之拉普拉斯	$mi{n}_f\infty {\Sigma }_{i=1}^l(y_i-f(x_i){)}^2+f^{T}Lf$，迭代至收敛	他不能够处理新的测试数据，仅在Xu上，来新的了要重新算
局部和全局一致性的方法	$$\begin{gathered} S=-D^{-1/2}W{D}^{-1/2},其中D^{-1/2}=diag(\frac{1}{\sqrt{d_1}},\frac{1}{\sqrt{d_2}},...,\frac{1}{\sqrt{d_{l+u}}}) \\ 迭代计算公式：F(t+1)=\alpha SF(t)+(1-\alpha )Y \\ 收敛后F^{\ast }=li{m}_{t\to \infty }F(t)=(1-\alpha )(I-\alpha S{)}^{-1}Y \end{gathered}$$	引入标注数据（全局）和图能量（局部）之间的平衡；允许Yl不同于Fl,但施加惩罚

1.假设

• 平滑假设：（生成式的）
  • 半监督学习能有效，必须满足一些假设
  • 半监督平滑假设:
    • 如果高密度空间中两个点 𝑥(1), 𝑥(2) 距离较近, 那么对应的输出𝑦(1), 𝑦(2)也应该接近
  • 监督学习的平滑假设 (用于对比):
    • 如果空间中两个点𝑥(1), 𝑥(2)距离较近, 那么对用的输出𝑦(1), 𝑦(2)也应该接近
• 聚类假设（ (S3VM)
  • 如果点在同一个簇，那么它们很有可能属于同一个类
  • 聚类假设的等价公式:
    • 低密度分隔:决策边界应该在低密度区域.
    • 聚类假设可以被看作半监督平滑假设的一种特殊情形
• 流形假设(基于图)
  • 高维数据大致会分布在一个低维的流形上
  • 邻近的样本拥有相似的输出
  • 邻近的程度常用“相似”程度来刻画
• 主要的半监督模型
  • 自我训练
  • 多视角学习
    • eg. 联合学习 [BM98]
  • 生成模型
    • 数据采样自相同的生成模型.
    • eg. 混合高斯
  • 低密度分割模型
    • 例如. Transductive SVM [Joa99]
  • 基于图的算法
    • 数据被表示成图中的节点，边代表节点对的距离
    • 这些方法基于流形假设.
    • 例如. 标签传播
  • 半监督聚类
    • ◼ 通用想法: 从有标注和无标注数据学习
    • ◼ 假设:
    • ⚫ 平滑假设 (生成式)
    • ⚫ 聚类假设 (S3VM)
    • ⚫ 流形假设 (基于图)
    • ⚫ 独立假设 (联合训练)
    • ◼ 挑战:
    • ⚫ 其他假设?
    • ⚫ 效率
• 总结
  • ◼ 使用无标注数据的两种方式:
    • ⚫ 在损失函数中 (S3VM, 联合训练)
      • 非凸 – 优化方法很重要!
    • ⚫ 正则化 (图方法
      • 凸问题, 但是图的构建很关键

	自学习算法	多视角学习-协同训练	多视角学习	生成模型GMM	聚类标签法	S3VMs（非凸）	基于图的算法（凸）	半监督聚类
假设	输出的高度置信的预测是正确的	分裂出来的特征充分且条件独立	条件独立	max 𝑃(𝑋, 𝑌|𝜃) 平滑假设	流形假设	聚类假设：来自不同类别的无标记数据之间会被较大的间隔隔开	流形假设 ：假定在有标注和无标注数据上存在一个图. 被“紧密”连接的点趋向于有相同的标签	-
算法	从(𝑋𝑙, 𝑌𝑙)学习𝑓 ； 对𝑥𝜖𝑋𝑢预测结果;把(𝑥, 𝑓(𝑥)) 加入到标注数据;重复(置信度log P(y|x))	f1和f2分别对x训练，每轮f1的结果给f2当做标注数据，f2的给f1	$mi{n}_f{\Sigma }_{v=1}^M({\Sigma }_{i=1}^{l}c(y_i,f_v(x_i))+{\lambda }_1\Vert f{\Vert }_K^2)+\lambda 2{\Sigma }_{u,v=1}^M{\Sigma }_{i=l+1}^n(f_u(x_i)-f_v(x_i){)}^2$鼓励多个学习器达成一致	log 𝑝( 𝑋𝑙, 𝑌𝑙, 𝑋𝑢 |𝜃 ）,EM解MLE	使用任意聚类算法，通过计算簇内占多数的类别，将簇内所有的点标记为该类别	$mi{n}_w\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2+C_1{\Sigma }_{i=1}^l(1-y_{i}f(x_i){)}_{+}+C_2{\Sigma }_{i=1+l}^n(1-\Vert f(x_i)\Vert {)}_{+}$->svmlight/分支定界	局部和全局一致性方法；调和函数法；最小割	已知所属类别或约束，以此为基础聚类
优势	简单，wrapper；实用	wrapper;对错误不那么敏感	弱学习器结合得到强学习器	清晰，基于良好理论基础的概率框架；如果模型接近真实的分布，将会非常有效	利用现有算法的一种简单方法	可以被用在任何SVMs 可以被应用的地方;清晰的数学框架	清晰的数学框架；当图恰好拟合该任务时，性能强大；能够被扩展到有向图	-
缺点	早期错误会累积，不保证收敛（特例EM)(部分存在封闭解	自然的特征分裂不一定存在；使用全部特征可能效果更好	-	EM局部极小;验证模型正确性困难；模型可辨识问题；模型错误，无监督数据加重错误	很难去分析它的好坏. 如果簇假设不正确，结果会很差	优化困难；局部最优；，假设弱收益小	图质量差的时候性能差；对图的结构和权重敏感	-
思想	自己教自己	互相教对方	搜索最好的分类器	-	-	遍历所有 2𝑢 种可能的标注𝑋𝑢 ；为每一种标注构建一个标准的SVM (包含𝑋𝑙) ；选择间隔最大的SVM	标签传播	-

2. 自学习算法

• 假设
  • 输出的高度置信的预测是正确的
• 自学习算法
  • 从(𝑋𝑙, 𝑌𝑙)学习𝑓
  • 对𝑥𝜖𝑋𝑢预测结果
  • 把(𝑥, 𝑓(𝑥)) 加入到标注数据
  • 重复上述过程
• 变体
  • 加入一些最置信的 (𝑥, 𝑓(𝑥))到标注数据集
    • 提升慢
  • 把所有 (𝑥, 𝑓(𝑥)) 加到标注数据
    • 加的多，数据提升快，但是noise大
  • 把所有(𝑥, 𝑓(𝑥)) 加到标注数据, 为每条数据按置信度赋予权重
• 应用
  • 图像分类：置信度log P(y|x)
  • alphago zero
• 优势
  • 最简单的半监督学习方法
  • 这是一种wrapper方法,可以应用到已有的（复杂）分类器上
  • 经常被用到实际任务中，例如自然语言处理任务中
• 缺点
  • 早期错误会累积，
  • 不保证收敛（
    • 特例EM)(部分存在封闭解
      

3.多视角学习

3.1 协同训练（co-training)

• 视角：一个对象的两个视角：图和html
  • 视角的获取：特征分裂
    • 分裂的要求：独立且充分
    • ◼ 每个实例由两个特征集合𝑥 = [𝑥 1 ; 𝑥(2)]表示
      • ⚫ 𝑥 1 = 图像特征
      • ⚫ 𝑥 2 = web页面文本
    • ⚫ 这是一个自然的特征分裂 (或者称为多视角)
• 协同训练的基本思想：
  • 训练一个图像分类器和一个文本分类器
  • 两个分类器互相教对方
• ◼ 假设
  • ⚫ 特征集合可分裂𝑥 =[ 𝑥 1 ; 𝑥 2 ]
  • ⚫ 𝑥 1 或 𝑥2单独对于训练一个好的分类器是充分的
  • ⚫ 𝑥 1 和 𝑥2 在给定类别后是条件独立的
• 协同训练
  • ⚫ 训练两个分类器: 从 𝑋𝑙 1 , 𝑌𝑙 学习𝑓(1) , 从(𝑋𝑙 2 , 𝑌𝑙)学习𝑓(2).
  • ⚫用𝑓(1) and 𝑓(2)分别对𝑋𝑢分类.
  • ⚫ 把𝑓(1) 的𝑘个最置信的预测结果 (𝑥, 𝑓 1 (𝑥)) 当做𝑓(2) 的标注数据
  • ⚫ 把𝑓(2) 的𝑘个最置信的预测结果 (𝑥, 𝑓 2 (𝑥)) 当做 𝑓(1) 的标注数据
  • ⚫ 重复上述过程
• ◼ 优点
  • ⚫ 简单的wrapper方法. 可以被用到已有的各种分类器
  • ⚫ 相比较于自我训练，对于错误不那么敏感
• ◼ 缺点
  • ⚫ 自然的特征分裂可能不存在
    ⚫ 使用全部特征的模型可能效果更好（原来数据就少）
• ◼ Co-EM: 不止是top 𝑘, 全部预测数据当做标注数据
  • ⚫ 每个分类器有一个概率标签𝑋𝑢
  • ⚫ 每个(𝑥, 𝑦) 加上权重𝑃（ 𝑦| 𝑥）
• ◼ 假的特征集分裂
  • ⚫ 构造随机的、人工的特征分裂 （没有天然的就自己构造）
  • ⚫ 再应用协同训练

3.2 多视角学习

• 半监督学习中一类通用的算法
• ◼ 基于数据的多个视角(特征表示)
  • • 协同训练是多视角学习中一个特例
• ◼ 通用的想法:
  • • 训练多个分类器，每个分类器使用不同的视角
  • • 多个分类器在无标签数据上应该达成一致
• 多视角学习（Multi-view Learning）
  • 一个正则化风险最小化框架，鼓励多个学习器的一致性:$$\begin{gathered} mi{n}_f{\Sigma }_{v=1}^M({\Sigma }_{i=1}^{l}c(y_i,f_v(x_i))+{\lambda }_1\Vert f{\Vert }_K^2)+\lambda 2{\Sigma }_{u,v=1}^M{\Sigma }_{i=l+1}^n(f_u(x_i)-f_v(x_i){)}^2 \\ M个学习器，C()是原来的loss（可以铰链损失/平方损失） \end{gathered}$$
• ◼ 为什么多视角学习能学得更好?
  • • 学习过程实质上搜索最好的分类器
  • • 通过强迫多个分类器的预测一致性, 我们减少了搜索空间
  • • 希望在较少的训练数据能够找到最好的分类器
• ◼ 对于测试数据，多个分类器被结合
  • • 例如, 投票, 共识等.
• ◼ 得到了一些理论结果的支持
• ◼ 基于多视角的半监督学习是半监督学习和集成学习的自然过渡
  • • 一些集成学习者观点：只要能够使用多个学习器，即可将弱学习器性能提升到极高 ，无需使用未标记样本
  • • 一些半监督学习者观点：只要能使用未标记样本，即可将弱学习器性能提升到极高 ，无需使用多学习器

4. 生成模型

• ◼ 生成模型假设
  • ⚫ 完全的生成模型（只考虑有标注数据） 𝑃(𝑋, 𝑌|𝜃)
• ◼ 半监督学习生成模型:
  • ⚫ 所有数据（无论标注与否）都是由同一个潜在的模型“生成”的
  • ⚫ 我们所感兴趣的量: 𝑝 (𝑋𝑙, 𝑌𝑙, 𝑋𝑢 |𝜃 )=${\sum }_{Y_u}$𝑝 (𝑋𝑙, 𝑌𝑙, 𝑋𝑢, 𝑌𝑢 |𝜃)
  • ⚫ 寻找𝜃的极大似然估计，或者最大后验估计（贝叶斯估计）
• 在半监督学习中经常使用:
  • ◼ 高斯混合模型 (GMM)
    • ⚫图像分类
    • ⚫ EM算法
  • ◼ 混合多项式分布 (朴素贝叶斯)
    • ⚫文本归类
    • ⚫ EM算法
  • ◼ 隐马尔科夫模型 (HMM)
    • ⚫语音识别
    • ⚫ Baum-Velch 算法

生成模型的例子

• 有无标注数据导致分界面不同，是因为优化目标不同导致的

4.2 GMM高斯混合模型

• 为简单起见, 考虑GMM用在二分类任务，利用MLE计算参数
• 只使用标注数据
  • ⚫log 𝑝 （𝑋𝑙, 𝑌𝑙 |𝜃 ）=${\Sigma }_{i=1}^l$ log 𝑝( 𝑦𝑖 |𝜃) 𝑝(𝑥𝑖|𝑦𝑖, 𝜃)
  • ⚫利用MLE 计算 𝜃 (频率, 采样均值, 采样协方差)
• ◼ 同时考虑有标注和无标注数据
  log 𝑝( 𝑋𝑙, 𝑌𝑙, 𝑋𝑢 |𝜃 ）=${\Sigma }_{i=1}^l$ log 𝑝( 𝑦𝑖 |𝜃) 𝑝(𝑥𝑖|𝑦𝑖, 𝜃) +${\Sigma }_{i=l+1}^{l+u}log{\Sigma }_{y=1}^2$ 𝑝( 𝑦𝑖 |𝜃) 𝑝(𝑥𝑖|𝑦, 𝜃)
  • ⚫MLE 计算困难(包含隐变量)
  • ⚫EM算法是寻找局部最优解的一个方法
• ◼ 核心是最大化𝑝(𝑋𝑙, 𝑌𝑙, 𝑋𝑢|𝜃)
  • ◼ EM 只是最大化该概率的一种方式
  • ◼ 其他能计算出使其最大化参数的方法也是可行的，如，变分近似，或者直接优化
• 优点
  • ◼ 清晰，基于良好理论基础的概率框架
  • ◼ 如果模型接近真实的分布，将会非常有效
• 缺点
  • ◼ 验证模型的正确性比较困难
  • ◼ 模型可辨识问题(Model identifiability)
  • ◼ EM局部最优
  • ◼ 如果生成模型是错误，无监督数据会加重错误

4.2.1 EM算法用于GMM

1. 在(𝑋𝑙, 𝑌𝑙)上用𝑀𝐿𝐸估计 𝜃 = {𝜔, 𝜇, ∑}1:2
2. ⚫ 𝑤𝑐=类别 c的比例
   • ⚫ 𝜇𝑐=类别c采样的均值
   • ⚫ ∑𝑐=类别c采样的协方差
   • 重复：
     2. E步:对所有𝑥𝜖𝑋𝑢，计算类别的期望 𝑝( 𝑦 x|𝜃 )
        • ⚫ 将x以𝑝(𝑦 = 1|𝑥, 𝜃) 的比例标记为类别1
        • ⚫ 将x以𝑝(𝑦 = 2|𝑥, 𝜃) 的比例标记为类别2
     3. M步: 用有标签数据𝑋𝑙和预测标签的数据𝑋𝑢 MLE估计𝜃

• 可以被看作自训练的一种特殊形式
• 初始化： 𝜃 = {𝜔, 𝜇, ∑}1:2
• E： $$\begin{gathered} {\gamma }_{ji} \\ =p(y_{ik=1}|x_i) \\ =\frac{p(y|\theta )p(x_i|y,\theta )}{{\Sigma }_{y^{\prime }}p(y^{\prime }|\theta )p(x_i|y^{\prime },\theta )} \\ =\frac{{\omega }_{i}p(x_j|{\mu }_k,{\Sigma }_k)}{{\Sigma }_{k=1}^K{\omega }_{k}p(x_j|{\mu }_k,{\Sigma }_k)} \end{gathered}$$
• M：$$\begin{gathered} {\mu }_i=\frac{1}{{\Sigma }_{x_j\in D_u}{\gamma }_{ji}+l_i}({\Sigma }_{x_j\in D_u}{\gamma }_{ji}{x}_j+{\Sigma }_{(x_j,y_j)\in D_{l}and{y}_j=i}{x}_j) \\ {\Sigma }_i=\frac{1}{{\Sigma }_{x_j\in D_u}{\gamma }_{ji}+l_i}{\Sigma }_{x_j\in D_u}{\gamma }_{ji}(x_j-{\mu }_i)(x_j-{\mu }_i{)}^T+\frac{1}{{\Sigma }_{x_j\in D_u}{\gamma }_{ji}+l_i}{\Sigma }_{(x_j,y_j)\in D_{l}and{y}_j=i}(x_j-{\mu }_i)(x_j-{\mu }_i{)}^T \\ {\alpha }_i=\frac{{\Sigma }_{x_j\in D_u}{\gamma }_{ji}+l_i}{m}--\omega ? \end{gathered}$$

4.2.2减小风险的启发式

• 模型错误–》务监督数据家中错误
• ◼ 需要我们更加仔细地构建生成模型，能正确建模目标任务
  • 例如：每个类别用多个高斯分布，而不是单个高斯分布
• ◼ 降低无标注数据的权重
  • log 𝑝( 𝑋𝑙, 𝑌𝑙, 𝑋𝑢 |𝜃 ）=${\Sigma }_{i=1}^l$ log 𝑝( 𝑦𝑖 |𝜃) 𝑝(𝑥𝑖|𝑦𝑖, 𝜃) +$\lambda {\Sigma }_{i=l+1}^{l+u}log{\Sigma }_{y=1}^2$ 𝑝( 𝑦𝑖 |𝜃) 𝑝(𝑥𝑖|𝑦|𝜃)

4.3 聚类标签法（cluster-and-label)

• 除了使用概率生成模型，任何聚类算法都可以被用于半监督学习:
  • ⚫ 在𝑋1 … 𝑋𝑢运行某种你挑选的聚类算法
  • ⚫ 通过计算簇内占多数的类别，将簇内所有的点标记为该类别
• ⚫ 优点: 利用现有算法的一种简单方法
• ⚫ 缺点: 很难去分析它的好坏. 如果簇假设不正确，结果会很差
  

5. S3VMs=TSVM

• ◼ 半监督支持向量机(Semi-supervised SVMs, 简称S3VMs) = 直推

  • SVM(Transductive SVMs,简称TSVMs)

• ◼ 最大化“所有数据的间隔(margin)”
  

• 标准SVM回忆

  • $mi{n}_w\frac{1}{2}||w|{|}^2+C{\Sigma }_{i=1}^n{\xi }_i$
    • 约束$y^i(w^T{x}^i)>=1-{\xi }_i,{\xi }_i\ge 0,对任意i$
  • Hinge函数
    • $$\begin{gathered} mi{n}_{\xi }\xi \\ s.t.\xi \ge z \\ \xi \ge 0 \\ ifz\le 0,min\xi =0 \\ ifz>0,min\xi =z \\ <==> \\ (z{)}_{+}=max(z,0) \end{gathered}$$
  • 使用Hinge函数的SVM
    • $mi{n}_w\frac{1}{2}||w|{|}^2+C{\Sigma }_{i=1}^n(1-y_{i}f(x_i){)}_{+}$
    • 倾向于让有标注的点在正确的一方
      

• ◼ 基本假设

  • ⚫ 来自不同类别的无标记数据之间会被较大的间隔隔开

• ◼ S3VMs 基本思想:

  • ⚫ 遍历所有 2𝑢 种可能的标注𝑋𝑢
  • ⚫ 为每一种标注构建一个标准的SVM (包含𝑋𝑙)
  • ⚫ 选择间隔最大的SVM

• ◼优点:

  • • 可以被用在任何SVMs 可以被应用的地方
  • • 清晰的数学框架

• ◼缺点:

  • • 优化困难
  • • 可能陷入局部最优
  • • 相比于生成模型和基于图的方法使用更弱的假设, 收益可能较小

• ◼ 如何利用没有标注的点?

  • ⚫ 分配标签sign(𝑓 𝑥 )给 𝑥 ∈ 𝑋𝑢
  • ⚫ sign(𝑓(𝑥)) 𝑓(𝑥)=|𝑓(𝑥)|
  • ⚫ 无标注上的hinge损失为
    • (1 − 𝑦𝑖𝑓(𝑥𝑖))+= (1 − |𝑓(𝑥𝑖)|)+

• ◼ S3VM 目标函数:
  $$mi{n}_w\frac{1}{2}||w|{|}^2+C_1{\Sigma }_{i=1}^l(1-y_{i}f(x_i){)}_{+}+C_2{\Sigma }_{i=1+l}^n(1-|f(x_i)|{)}_{+}$$

  • 第三项：无标注数据的损失，倾向于f(x)>=1or f(x)<=1让无标注数据远离决策边界f(x)=0
  • 等价地，要选择远离标注数据的f=0
    • 类别平衡限制
    • 直接优化S3VM目标函数常常会产生一些不均衡的分类—大多数点落在一个累内
    • 启发式的类别平衡方法：$\frac{1}{n-1}{\Sigma }_{i=l+1}^n{y}_i=\frac{1}{l}{\Sigma }_{i=1}^l{y}_i$
    • 放松的类别均衡限制$\frac{1}{n-1}{\Sigma }_{i=l+1}^{n}f(x_i)=\frac{1}{l}{\Sigma }_{i=1}^l{y}_i$
      $$\begin{gathered} mi{n}_w\frac{1}{2}||w|{|}^2+C_1{\Sigma }_{i=1}^l(1-y_{i}f(x_i){)}_{+}+C_2{\Sigma }_{i=1+l}^n(1-|f(x_i)|{)}_{+} \\ s.t.\frac{1}{n-1}{\Sigma }_{i=l+1}^{n}f(x_i)=\frac{1}{l}{\Sigma }_{i=1}^l{y}_i \end{gathered}$$

• 分类sgn(f(x))
• 挑战：目标函数非凸，求解困难
• 学习方法
  • ◼ 精确方法:
    • • 混合整数规划(Mixed Integer Programming )[Bennett, Demiriz; NIPS 1998]
    • • 分支定界(Branch & Bound) [Chapelle, Sindhwani, Keerthi; NIPS 2006]
  • ◼ 近似方法:
    • • 自标注启发式S3VMlight (self-labeling heuristic S3VMlight )[T. Joachims; ICML 1999]
    • • 梯度下降(gradient descent )[Chapelle, Zien; AISTATS 2005]
    • • CCCP-S3VM [R. Collobert et al.; ICML 2006]
    • • contS3VM [Chapelle et al.; ICML 2006]

5.2 学习算法$SV{M}^{light}$

• 思想

  • ◼ 局部组合搜索策略(Local combinatorial search)
  • ◼ 分配一个“硬”标签到无标注数据
  • ◼ 外层循环: 𝐶2从0开始向上“退火”
  • ◼ 内层循环: 成对标签切换

• 算法

  • ◼ 用(𝑋𝑙, 𝑌𝑙)训练一个SVM.
  • ◼ 根据𝑓(𝑋𝑢)排序𝑋𝑢 . 以合适的比例标注𝑦 = 1, −1
  • ◼ FOR 𝐶2 ← 10−5𝐶2⋯𝐶2
    • ⚫ REPEAT:
      $$mi{n}_w\frac{1}{2}||w|{|}^2+C_1{\Sigma }_{i=1}^l(1-y_{i}f(x_i){)}_{+}+C_2{\Sigma }_{i=1+l}^n(1-|f(x_i)|{)}_{+}$$
    • ⚫ IF ∃ 𝑖,𝑗 可交换 THEN 交换 𝑦𝑖, 𝑦𝑗
    • ⚫ UNTIL 没有标签可交换

• ij可交换<===>

  • $$\begin{gathered} loss(y_i=1,f(x_i))+loss(y_j=-1,f(x_j))>loss(y_i=-1,f(x_i))+loss(y_j=1,f(x_j)) \\ hinge损失loss=(1-yf{)}_{+} \end{gathered}$$
    

5.3 分支定界

• ◼ 组合优化问题.
  • ◼ 在𝑋𝑢上构建一棵部分标注的树.
    • ⚫ 根节点: 𝑋𝑢 没有标注
    • ⚫ 子节点: 比父节点多一个数据𝑥 ∈ 𝑋𝑢被标注
    • ⚫ 叶子节点: 所有𝑥 ∈ 𝑋𝑢 被标注
  • ◼ 部分标注有一个非减（non-decreasing）的S3VM目标函数
    $$mi{n}_w\frac{1}{2}||w|{|}^2+C_1{\Sigma }_{i=1}^l(1-y_{i}f(x_i){)}_{+}+C_2{\Sigma }_{i\in labeledsofar}(1-|f(x_i)|{)}_{+}$$
• 算法
  • ◼ 在树上进行深度优先搜索
  • ◼ 记录一个到当前为止的完整目标函数值
  • ◼ 如果它比最好的目标函数差，就进行剪枝(包括它的子树)
    

6. 基于图的算法

• 文本分类
  • 相似性是通过文档中词的重叠度度量的
  • 标签以相似的无标注文章传播
    
    
• 图的算法
• ◼ 假设
  • ⚫ 假定在有标注和无标注数据上存在一个图. 被“紧密”连接的点趋向于有相同的标签.
• ◼ 标签传播：在图上标签的变化应该是平滑的
  • ⚫ 临近节点应该有相似的标签
• 图
• ◼ 节点: 𝑋𝑙 ∪ 𝑋𝑢
• ◼ 边:权重是基于特征来计算相邻节点之间的相似度, 例如,
  • ⚫ 𝑘最近邻图, 无权重(0, 1 权重)
  • ⚫ 全连接图, 权重随距离衰减𝑤 = $exp(-||x_i-x_j|{|}^2/{\sigma }^2)$
  • ⚫ 𝜀−半径(𝜀-radius) 图
• ◼ 想要的结果: 通过所有的路径来推导相似度
• 一些图的算法
  • ◼ 最小割（Mincut）
  • ◼ 调和函数法(Harmonic)
  • ◼ 局部和全局一致性法(Local and global consistency)
  • ◼ 流形正则化方法(Manifold regularization)
• ◼ 优点:
  • • 清晰的数学框架
  • • 当图恰好拟合该任务时，性能强大
  • • 能够被扩展到有向图
• ◼ 缺点:
  • • 图质量差的时候性能差
  • • 对图的结构和权重敏感

	目标函数	备注
最小割	$mi{n}_f\infty {\Sigma }_{i=1}^l(y_i-Y_{li}{)}^2+{\Sigma }_{ij}{w}_{ij}(y_i-y_j{)}^2$	—
调和函数之自我训练	$$\begin{gathered} E(f)={\Sigma }_{i-j}{w}_{ij}(y_i-y_j{)}^2 \\ f(x_i)=\frac{{\Sigma }_{j-i}{w}_{ij}f(x_j)}{{\Sigma }_{j-i}{w}_{ij}},任意x_i\in X_u \end{gathered}$$，迭代至收敛	固定已有标注，如果标注存在错误怎么办？想要更灵活，希望偶尔不服从给定的标注
调和函数之拉普拉斯	$mi{n}_f\infty {\Sigma }_{i=1}^l(y_i-f(x_i){)}^2+f^{T}Lf$，迭代至收敛	他不能够处理新的测试数据，仅在Xu上，来新的了要重新算
局部和全局一致性的方法	$$\begin{gathered} S=-D^{-1/2}W{D}^{-1/2},其中D^{-1/2}=diag(\frac{1}{\sqrt{d_1}},\frac{1}{\sqrt{d_2}},...,\frac{1}{\sqrt{d_{l+u}}}) \\ 迭代计算公式：F(t+1)=\alpha SF(t)+(1-\alpha )Y \\ 收敛后F^{\ast }=li{m}_{t\to \infty }F(t)=(1-\alpha )(I-\alpha S{)}^{-1}Y \end{gathered}$$	引入标注数据（全局）和图能量（局部）之间的平衡；允许Yl不同于Fl,但施加惩罚

6.1 最小割mincut

• 固定Yl，去最小化Σijwij∣(yi−yj)∣,以寻找Yu∈{0,1}\Sigma_{ij}w_{ij}|(y_i-y_j)|,以寻找Y_u\in\{0,1\}Σij​wij​∣(yi​−yj​)∣,以寻找Yu​∈{0,1}
  • <==>$mi{n}_f\infty {\Sigma }_{i=1}^l(y_i-Y_{li}{)}^2+{\Sigma }_{ij}{w}_{ij}(y_i-y_j{)}^2$
    • 组合问题，但是又多项式时间的解
    • 最小化两方的权值差
• 最小割计算了玻尔兹曼机的modes（峰值）
• 
• ◼ 可能存在多种模式
• ◼ 一个方法是随机打乱权重，平均结果
  

Karger‘s algorithm（随机算法）
While there are more than 2 vertices: • Pick a remaining edge (𝑢, 𝑣) uniformly at random • Merge (or “contract”) 𝑢 and 𝑣 into a single vertex• Remove self-loops 
Return cut represented by final 2 verticesStoer–Wagner algorithm（确定性算法）
function: MinCutPhase(Graph G, Weights W, Vertex a): A <- {a} while A != V: add tightly connected vertex to A store cut_of_the_phase and shrink G by merging the two vertices added last 
minimum = INF
function: MinCut(Graph G, Weights W, Vertex a): while |V| > 1: MinCutPhase(G,W,a) if cut_of_the_phase < minimum:minimum = cut_of_the_phase 
return minimum

随机最小割

• ◼ 构建一个图G
• ◼ 随机给边加上一些噪声，然后求解最小割
• ◼ 移除那些极度不平衡的解（小于5%的解在一边的）
• ◼ 用多数投票获得最后的分割

6.2 调和函数法(迭代、拉普拉斯方法）

• 放松离散的标签值到连续值

  • f(xi)=yi连续
  • 最小化能量$E(f)={\Sigma }_{i-j}{w}_{ij}(y_i-y_j{)}^2$
  • 高斯随机场的均值
  • 邻居的均值$f(x_i)=\frac{{\Sigma }_{j-i}{w}_{ij}f(x_j)}{{\Sigma }_{j-i}{w}_{ij}},任意x_i\in X_u$

• 计算调和函数的方法

  • 自我训练
    • ◼ 计算调和函数的一种方式是:
    • ⚫ 初始, 设置 𝑓（ 𝑥𝑖） = 𝑦𝑖 对于 𝑖 = 1 ⋯ 𝑙, 对于𝑥𝑗 ∈ 𝑋𝑢 ，𝑓（𝑥𝑗） 设为任意值 (例如, 0)
    • ⚫ 重复这个步骤直到收敛: Set $f(x_i)=\frac{{\Sigma }_{j-i}{w}_{ij}f(x_j)}{{\Sigma }_{j-i}{w}_{ij}},任意x_i\in X_u$, 即邻接点的加权平均值. 注意 𝑓(𝑋𝑙) 是固定的
    • ◼ 这也可以看成是自我训练的一种特殊形式
  • 图拉普拉斯的方法
    • 权重矩阵W
    • $D_{ii}={\Sigma }_{j=1}^n{W}_{ij}$
    • 拉普拉斯：L=D-W
    • 能量函数：$E(f)=\frac{1}{2}{\Sigma }_{i-j}{w}_{ij}(y_i-y_j{)}^2=f^{T}Lf$
    • 所以调和函数给定标注下的能量：$mi{n}_f\infty {\Sigma }_{i=1}^l(y_i-f(x_i){)}^2+f^{T}Lf$
    • $$\begin{gathered} L=\left[\begin{array}{cc}{L}_{ll}& L_{lu}\\ L_{ul}& L_{uu}\end{array}\right] \\ 调和解Lf=0 \\ {f}_u=(D_{uu}-W_{uu}{)}^{-1}{W}_{ul}{Y}_l=(I-P_{uu}{)}^{-1}{P}_{ul}{Y}_l,其中P=D^{-1}W \\ 归一化L^{\prime }=D^{-1/2}L{D}^{-1/2}=I-D^{-1/2}W{D}^{-1/2} \end{gathered}$$

• 电子网络的解释

• 

• 随机游走的解释

• 从节点i，以概率$\frac{w_{ij}}{{\Sigma }_k{w}_{ik}}$随即游走到j

• 如果遇到有标注的节点就停止

• 调和函数是f=P(遇到标签1|从i出发）
  

• 标签传播
  

6.3局部和全局一致性的方法

• (1) 邻近的点有可能有相同的标签;
• (2) 在相同结构（簇或者流形）上的点可能有相同的标签；
• 算法
  • 将标签拓展到多分类任务，假定 𝑦𝑖∈ 𝒴,定义非负的(𝑙 + 𝑢) × 𝒴 的标记矩阵𝐹 = (𝐹1𝑇, 𝐹2𝑇, … , 𝐹𝑙+𝑢 𝑇 )𝑇,其中第𝑖行的元素𝐹𝑖 = ( 𝐹 𝑖1, 𝐹 𝑖2, … , (𝐹)𝑖 |𝒴| )为示例𝑥𝑖的标记向量，相应的分类规则为
    $$y_i=argma{x}_{1\le j\le |y|}(F{)}_{ij}$$
  • 标记矩阵初始化为$$F(0)=(Y{)}_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& if(1\le i\le l)and(y_i=j)\\ 0& otherwise\end{array}$$
  • 构造一个基于W的标记传播矩阵$$\begin{gathered} S=-D^{-1/2}W{D}^{-1/2},其中D^{-1/2}=diag(\frac{1}{\sqrt{d_1}},\frac{1}{\sqrt{d_2}},...,\frac{1}{\sqrt{d_{l+u}}}) \\ 迭代计算公式：F(t+1)=\alpha SF(t)+(1-\alpha )Y \\ 收敛后F^{\ast }=li{m}_{t\to \infty }F(t)=(1-\alpha )(I-\alpha S{)}^{-1}Y \end{gathered}$$
• 该算法对应于正则化框架
  • $mi{n}_F\frac{1}{2}({\Sigma }_{i,j=1}(W{)}_{ij}||\frac{F_i}{\sqrt{d_i}}-\frac{F_j}{\sqrt{d_j}}|{|}^2)+\mu {\Sigma }_{i=1}^l||F_i-Y_i|{|}^2$
  • ◼ 允许𝑓(𝑋𝑙) 不同于𝑌𝑙, 但是加以惩罚(第二项）
  • ◼ 引入标注数据（全局）和图能量（局部）之间的平衡
    
    
    

7. 半监督聚类

• 聚类是无监督学习的一种算法

• 半监督聚类: 聚类并加入一系列领知识

  • ◼ 根据给定的不同的领域知识:
    • 用户预先提供一些种子文档的类别标签
    • 用户知道其中一些文档是相关 (must-link)的还是不相关(cannot-link)

• 用户预先提供一些种子文档的类别标签

• 用户知道其中一些文档是相关 (must-link)的还是不相关(cannot-link)

8. 前沿

8.1深度学习中的半监督学习

• ◼ 自然语言处理中的预训练（右）
  • ◼ 在无标注数据上训练模型
  • ◼ 学习到的权重放到监督任务的模型中
• ◼ Word2vec（左）
  • ◼ 共享词向量部分
  • ◼ 无监督学习： skip-gram/cbow/glove
  • ◼ 有监督学习：一些NLP任务
    
• ◼ ELMo(中）
  • ◼ 在双向语言模型任务上预训练模型
  • ◼ 共享词向量和上下文编码部分(LSTM)
• ◼ BERT（右）（transformer)
  • ◼ 共享全部的编码部分
  • ◼ 预训练的任务是屏蔽(mask)语言模型和上下句关系预测
  • ◼ 随机屏蔽一些词，无监督模型根据上下文预测该词
  • ◼ 判断两句话是不是连续的两句话，例如，随机将部分下一句换成其他句子
  • ◼ 监督模型只保留最后的任务特定的输出层不预训练，例如，分类任务非预训练参数仅一层softmax
• 半监督GAN
  • ◼ 将GAN用在半监督学习领域的时候需要做一些改变
  • ◼ 生成器不做改变，仍然负责从输入噪声数据中生成图像
  • ◼ 判别器D不再是一个简单的真假分类（二分类）器，假设输入数据有K类，D就是K+1的分类器，多出的那一类是判别输入是否是生成器G生成的图像