怎样更好地理解并记忆泰勒展开式

本段的核心思想是仿造。当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。这是每个人都明白的生活经验。

一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：
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物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：既然想模仿刚才那辆车，那首先应该保证初始位置一样，继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，不满足，精益求精，可以一直模仿下去。物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。

1. 泰勒

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下面就是严谨的计算了。

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先算个一阶的。

再来个二阶的。

到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。
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泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。

于是，剩下一帮人帮他擦屁股。第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。

首先讲讲佩亚诺的故事。

2. 佩亚诺

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佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是让这个误差趋近于0。佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，

一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。

后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：**泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。**举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：
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由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗？

现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：
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如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：
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我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。

反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。

总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，这个商才趋近于0，索性就这样了。

佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。

3. 拉格朗日

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把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是拉格朗日中值定理：

后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：
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拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。