怎样更好地理解并记忆泰勒展开式

本段的核心思想是仿造。当我们想要仿造一个东西的时候,无形之中都会按照上文提到的思路,即先保证大体上相似,再保证局部相似,再保证细节相似,再保证更细微的地方相似……不断地细化下去,无穷次细化以后,仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。这是每个人都明白的生活经验。

一位物理学家,把这则生活经验应用到他自己的研究中,则会出现下列场景:一辆随意行驶的小车,走出了一个很诡异的轨迹曲线:
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物理学家觉得这段轨迹很有意思,也想开车走一段一摸一样的轨迹。既然是复制,他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里,提出了一个解决办法:既然想模仿刚才那辆车,那首先应该保证初始位置一样,继续模仿,让车在初始位置的速度也一样,不满足,继续细化,这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时,保证在初始位置处车的加速度也一样,不满足,继续细化,这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样,也保证初始位置处的加速度的变化率也一样,不满足,精益求精,可以一直模仿下去。物理学家得出结论:把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中,如果想仿造一段曲线,那么首先应该保证曲线的起始点一样,其次保证起始点处位移随时间的变化率一样(速度相同),再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样(加速度相同)……如果随时间每一阶变化率(每一阶导数)都一样,那这俩曲线肯定是完全等价的。

1. 泰勒

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下面就是严谨的计算了。

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先算个一阶的。
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再来个二阶的。
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到这里,不光是泰勒,我们普通人也能大概想象得到,如果继续继续提高阶数,相似范围继续扩大,无穷高阶后,整个曲线都无限相似。插个图,利用计算机可以快速实现。
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泰勒的故事讲完了,但是事情没完,因为泰勒没有告诉你,到底该求导几次

于是,剩下一帮人帮他擦屁股。第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了,不太好用。后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。

首先讲讲佩亚诺的故事。

2. 佩亚诺

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佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺,假如让你思考这个问题,你会有一个怎样的思路?既然是误差,肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候,很自然的逻辑就是让这个误差趋近于0。佩亚诺也是这么想的,他的大方向就是令后面这半部分近似等于0,

一旦后半部分很接近0了,那么就可以省去了,只展开到n阶就可以了,泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。

后来,他又开始琢磨泰勒的整个思路:先保证初始点位置相同,再保证一阶导数相同,有点相似了,再保证二阶导数相同,更细化了,再保证三阶导数相同……突然灵光闪现:**泰勒展开是逐步细化的过程,也就是说,每一项都比前面一项更加精细化(更小)。**举个例子,你想把90斤粮食添到100斤,第一次,添了一大把,变成99斤了,第二次,添了一小把,变成99.9斤了,第三次,添了一小撮,变成99.99斤了……每一次抓的粮食,都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的:
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由此可见,最后一项(n阶)是最小的。皮亚诺心想:只要让总误差(后面的所有项的总和)比这一项还要小,不就可以把误差忽略了吗?

现在的任务就是比较大小,比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小,即:
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如何比较大小?高中生都知道,比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话,一个个试一下。最终,皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项,整理后得到:
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我不知道你们看到这里是什么感觉,可能你觉得佩亚诺好棒,也可能觉得,这不糊弄人嘛。

反正,为了纪念佩亚诺的贡献,大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。

总结一下佩亚诺的思路:首先,他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全,然后,他把这些项之和称为误差项,之后,他想把误差项变为0,考虑到泰勒展开式中的项越来越小,他就让误差项除以最后一项,试图得到0的结果,最后发现,只有当xxx趋近于x0x_0x0时,这个商才趋近于0,索性就这样了。

佩亚诺的故事讲完了,他本想完善泰勒展开,然而,他的成果只能算xxx趋近于x0x_0x0时的情况。这时候,拉格朗日出场了。

3. 拉格朗日

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把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来,就是拉格朗日中值定理:
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后来啊,拉格朗日的中值定理被柯西看到了,柯西牛逼啊,天生对于算式敏感。柯西认为,纵坐标是横坐标的函数,那我也可以把横坐标写成一个函数啊,于是他提出了柯西中值定理:
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拉格朗日听说了这事,心里愤愤不平,又觉得很可惜,明明是自己的思路,就差这么一步,就让柯西捡便宜了,不过柯西确实说的有道理。

这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。接下来,拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题,他同佩亚诺一样,只考虑误差部分(见前文)。

插一句,各位老铁,接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了,我实在是编不出来他的脑回路。

首先,跟佩亚诺一样,先把误差项写出来,并设误差项为R(x)R(x)R(x)
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拉格朗日继续复制这种思路,想看看能不能继续往下写:

先看分子
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再看分母
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本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。

作者:「已注销」
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4. 麦克劳林级数

通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数,以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。
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4.1 几个重要的麦克劳林级数

4.1.1 几何级数
4.1.2 二项式级数

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4.1.3 指数函数和自然对数

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4.1.4 三角函数

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4.1.5 双曲函数

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4.1.6 朗伯W函数

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