《拓扑学》作业
单项选择
1．关于笛卡儿积，下面等式成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）当且仅当
2．设是映射，，，则下面结论不成立的是：
（A）
（B）
（C）
（D）
3．在字典序拓扑空间中，子集是：
（A）开集，非闭集 （B）闭集，非开集
（C）即开，且闭集 （D）即非开集，也非闭集
4．设为映射，（表示实数集合），，下面关于的定义中是的度量的是：
（A） （B）
（C） （D）
5．设是平庸拓扑空间，，则交错序列在拓扑空间中的收敛点集合是：
（A） （B） （C） （D）
6．设，，，，则在积空间中等于
（A） （B）
（C） （D）
7．设，，，，则在子空间中的内部等于：
（A） （B） （C） （D）
8．拓扑空间的Lindelöff性，可分性，紧致性，完全正则性中是有限可积性质的有：
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
9．下列拓扑空间的蕴涵关系中，成立的有
完全正则空间正则空间，完全正则空间正规空间，连通空间局部连通空间，
度量空间可分空间，度量空间Lindelöff空间
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
10．拓扑空间的可分性，紧致性，Lindelöff性，连通性中在连续射下保持不变的性质有：
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
11．设是一个等价关系，则不满足的条件是
（A） （B）R∩R-1= （C） （D）
12．设是映射，，则下面等式中不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
13．在字典序拓扑空间中，子集是：
（A）开集，非闭集 （B）闭集，非开集
（C）即开，且闭集 （D）即非开集，亦非闭集
14．设，，则在拓扑空间中常值序列的 收敛点集合是
（A） （B） （C） （D）
15．设，，，
，，则在积空间中，等于：
（A） （B）
（C） （D）
16.设，，，则在子空间Y中，A的闭包等于
（A） （B） （C） （D）
17．设是拓扑空间，是可度量空间是指存在的度量使得由诱导的拓扑满足：
(A) (B) © (D)
18．拓扑空间的可分性，Lindelöff性, 正规性、完全正则性中是遗传性质的有
（A）1个 (B) 2个 © 3个 (D) 4个
19．下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有
满足第二可数理空间可分空间 度量空间Lindelöff空间
正规空间完全正则空间 度量空间满足第一可数公理空间
正规空间正则空间 完全正则空间正则空间
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
20．设是拓扑空间，则对中任意两个不相交闭集存在连续映射使得，当且仅当是：
（A）正则空间 （B）完全正则空间 （C）正规空间 （D）空间
21．设是全集，，当且仅当
（A） （B） （C） （D）
22．设是映射，，则下面结论不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
23．在字典序拓扑空间中，子集是
（A）开集，非闭集 （B）闭集，非开集
（C）即开，且闭集 （D）即非开集，亦非闭集
24．定义度量，，，
，则度量空间（）中的单位球是

（A） （B）

（C） （D）

25．设是离散拓扑空间，, 则在中交错序列的收敛点集合是
（A） (B) © (D)
26．设，，，则在子空间Y中A的闭包等于
（A） （B） （C） （D）
27．设，，，，则在积空间中等于
（A） （B）
（C） （D）
28．拓扑空间的连通性、紧致性、可分性、完全正则性，Lindelöff性，满足第二可数公理性中是可遗传性质的有
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
29．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有：
满足第二可数合理空间可分空间， 度量空间满足第一可数公理空间
完全正则空间正则空间， 紧致空间Lindelöff空间
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
30．设是拓扑空间，则对中任意两个不相交闭集存在连续映射使得，当且仅当是：
（A）正则空间 （B）完全正则空间 （C）正规空间 （D）空间
31．设是映射，则满足的条件是
（A）；如果，则
（B）；如果，则
（C）；如果，则
（D）；如果，则
32．设则下面等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
33．在字典序拓扑空间中，子集是
（A）开集，非闭集 （B）闭集，非开集
（C）即开，且闭集 （D）即非开集，亦非闭集
34．设是度量空间，是的由诱导的拓扑，，则下列关于的结论不正确的是
（A）存在使得
（B）使得
（C）使得
（D）存在使得
35．设，则在拓扑空间中常值序列…的收敛点集合是
（A） （B） （C） （D）
36．设，，则在子空间中的内部是
（A） （B） （C） （D）
37．设，，，则在积空间中，等于
（A） （B）
（C） （D）
38．拓扑空间的可分性，Lindelöff性，紧致性，正规性，连通性中是有限可积的性质有：
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
39．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有
正规空间正则空间 完全正则空间正则空间
局部连通空间连通空间 满足第二可数公理空间可分空间
度量空间满足第一可数公理空间 度量空间可分空间
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
40．设是拓扑空间，则对中任意闭集及，存在连续映射使得当且仅当是
（A）空间 （B）正规空间 （C）完全正则空间 （D）空间

二．证明题
1.设是两个拓扑空间，是映射，证明若是连续映射，则，。
2.设是一一映射，而且，，证明是一个连续映射.
3.设，是两个拓扑空间，是映射，证明若是连续性映射，则
4.设是拓扑空间，是映射，且满足，证明是连续映射。

5.设是拓扑空间，Y是X的连通子集，A，B是X的隔离子集，
证明：或者，或者
6.设是拓扑空间，, 是连通的，是即开且闭集 ,证明: 或者，或者。
7. 设是连通拓扑空间，，证明：
8. 设是一个连通空间，是一个非空真子集，证明
9.证明正则的空间是空间。
10.设R表示实数集合，

证明（1）存在R的唯一拓扑以为拓扑基.
（2）证明.
11. 设是一个紧致空间，是中的一个闭子集，证明是的一个紧致子集。
12.设R表示实数集合，。
证明：（1）存在R的唯一拓扑以为拓扑基。
（2）在拓扑空间中证明：.
13.设是一个拓扑空间，
证明：（1）是一个拓扑空间
(2) 不是空间
14.设X是集合，是中的有限子集}。
证明：（1）是拓扑空间
（2）是一个正则空间
15.设R表示实数集合，表示有理数集，令

证明（1）存在R的唯一拓扑以为拓扑基：
（2）.
16.设是一个集合, 是有限集}
（1）证明是一个拓扑空间。
（2）证明是一个紧致空间。
17.设是正则空间，是紧致子集，是中闭集，。证明存在，使得
18. 设是一个空间，是中的一个紧致子集，，证明存在，使得。