正题

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题目大意

给出$n$，求一个长度为$2n$的由$1\sim n$各两个组成的一个序列使得有一个数的前缀数量不小于任何数字。

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解题思路

首先这个数字肯定是第一个数字，这里假设为$1$，那么要求任意位置$1$的前缀数量都不小于别的数。

也就是第二个$1$在任何一个数字的前面，我们考虑枚举第二个1的位置$i$，那么对面该位置前方有$n$个数可以放置，方案为$P(n,i-2)$。然后对于该位置后方，有$2\ast n-i$个数可以放置，但是有$n-i+1$个数字有一个重复，所以方案为$\frac{(2\ast n-1)!}{2^{n-i+1}}$

所以答案就是$$n\ast \sum _{i=2}^{n}P(n,i-2)\ast \frac{(2\ast n-1)!}{2^{n-i+1}}$$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e6+10,XJQ=998244353;
ll n,fac[N],z[N],pows[N],ans;
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%XJQ;x=x*x%XJQ;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);fac[0]=z[0]=pows[0]=1;for(ll i=1;i<=2*n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%XJQ;for(ll i=1;i<=n;i++)z[i]=z[i-1]*(n-i)%XJQ,pows[i]=pows[i-1]*2%XJQ;for(ll i=2;i<=n+1;i++){ans+=z[i-2]*fac[2*n-i]%XJQ*power(pows[n-i+1],XJQ-2)%XJQ;ans%=XJQ;}printf("%lld",ans*n%XJQ);
}