记

今天闲来无事，不想刷codeforces了，到洛谷提高组训练营找几道水题刷着玩玩（虽然自己早已过了打OI的年纪）～

简单博弈论专题

P1199 三国游戏

这么考虑，由于电脑总是不能让我搭配出当前能搭配出的最大的组合，也就是说我不管选哪个英雄，都不可能匹配出该英雄能搭配出的最大的默契值，那么我最大能搭配出的默契值就是所有英雄匹配中，次大默契值的最大值。
假设有$a、b、c、d$四位英雄
$a$能匹配的最大值为$a_{M}$次大值为$a_m$
$b$能匹配的最大值为$b_{M}$次大值为$b_m$
$c$能匹配的最大值为$c_{M}$次大值为$c_m$
$d$能匹配的最大值为$d_{M}$次大值为$d_m$

假设其中$a_m>b_m>c_m>d_m$

那么我能得到的最大可能值也就是$a_m$了。
下面证明，电脑能组合出的最大值一定比$a_m$要小。
那么我一开始选择$a$，电脑一定会选择与$a$能形成$a_M$的值的英雄，假设是$d$。
然后我再选$c$，这里假设$c与a组合得到a_m$。
那么电脑会选择$b$。
反证法开始了：
假设$d与b形成的默契值t>a_m>d_m$
而$d与a形成的默契值为a_M>a_m>d_m$
这样的话$d_m$不可能是$d$能匹配到的次大值,矛盾。
所以$t<a_m$
本次电脑不会选择到比$a_m$更大的数。
随后我们只需要破坏掉电脑构造成最大的组合就可以了。

P1288 取数游戏II

如果出发点靠着0边，那么只能往一个方向走，并且走过的边的值一定要减到0，不然对面会逆过来，然后把边减到0，这样我方就输了。

不靠0边的时候，如果沿着某个方向走会赢，那么就把沿路经过的边设置为0。
如果沿着那个方向走都不会赢，你任取一个方向走的时候不把边设置为0，对方在下一次走的时候也会继续沿着这个方向，并把下一条边设置成0，你还是要一直沿着这个方向走。

所以不管怎么样，经过的边都会变成0，也就是说一旦选定方向了，就只能一直走。
所以结果很固定，你只要把2个方向都老老实实沿着走下去，有一种情况能赢就能赢，否则就不能赢。

P1290 欧几里德的游戏

典型的辗转相除法。

假设这时候状态是$(a,b) 满足 a>b$
如果$[a/b] = 1$那么$(a,b)$与$(b,a\%b)$的状态是相反的。
如果$[a/b] = k > 1$那么就是必胜的,因为如果$(b,a\%b)$是必败态，那么a直接剪去k个b，否则的话，a剪去k-1个b。很简单是不是。

P2148 [SDOI2009]E&D

山东的省选题，中规中矩。
由于多个组是独立游戏，所以Nim博弈，直接求出所有组的sg函数，然后异或就可以了，如果异或值为0则必败，否则必胜。
由于每个二元组$(a,b)$的范围都是$1e9$，这样的话，sg函数的复杂度太大了，所以要想想办法。
方法就是：打表找规律！2333
规律如下：

int sg(int x,int y){if(x == 1 && y == 1)return 0;if(x%2 && y%2)return 0;if(x%2) swap(x,y);if(y%2 == 0){return sg(x/2,y/2)+1;}else{return sg(x,y+1);}
}

P1247 取火柴游戏

简单的不像话，跟上面的题难度一样，方法也一样，求sg函数，然后异或。
不同的地方是，这个要求第一步的方案。

在必胜态的时候，异或得到的值为ans。
我们第一步要做的就是拿掉一堆中的某些火柴，然后使异或值变为0。
假设我们要拿掉第i堆的某些火柴，那么这一堆应该剩下的火柴的数目就是$ans$ xor $n[i]$，拿走的火柴数目就是$n[i] -$ ($ans$ xor $n[i]$)。
从小到达枚举堆数，找一个合法的情况就好了。

P2575 高手过招

这到也是sg函数➕异或。
不得不说sg函数是博弈论的大杀器呀。
求sg函数的方法就不说了，注意的点：

• 这题要用到位运算，压缩状态，不然时间、空间可能不够。
• 开O2！！！

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <cstring>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int maxn = 2e6;
int T,n,m;
int sg[maxn];
int grundy(int status){if(sg[status] != -1)return sg[status];unordered_map<int,int> mp;for(int i = 19;i > 0;--i){if(!(status&(1<<i))) continue;int j = i-1;for(;j >= 0;--j)if(!(status&(1<<j)))break;if(j == -1) continue;mp[grundy(status ^ ((1<<i) + (1<<j)))] = 1;;}for(int i = 0;;i++){if(!mp[i])return sg[status] = i;}
}
int main(){cin>>T;memset(sg,-1,sizeof(sg));while(T--){scanf("%d",&n);int ans = 0;for(int i = 1;i <= n;++i){scanf("%d",&m);int status = 0;for(int j = 1;j <= m;++j){int p;scanf("%d",&p);status |= 1<<(20-p);}ans ^= grundy(status);}if(ans) puts("YES");else puts("NO");}return 0;
}