图像处理作业第8次

7.11

说明尺度函数 $ϕ(x)=1,0.25≤x<0.75\phi(x)=1 ,0.25 \le x\lt 0.75$ 并未满足多分辨率分析的第二个要求.
$ϕ1,0(x)=2ϕ(2x)=1\phi_{1,0}(x)=\sqrt 2 \phi(2x)=1$ 当且仅当满足 $\le x\lt 0.375$
$ϕ1,1(x)=2ϕ(2x−1)=1\phi_{1,1}(x)=\sqrt 2 \phi(2x-1) = 1$ 当且仅当满足 $\le x \lt 0.875$
可以看出,在 $\le x \lt 0.675$ 的位置,显然 $ϕ(x)\phi(x)$ 不能由 $ϕ1,0(x),ϕ1,1(x)\phi_{1,0}(x),\phi_{1,1}(x)$ 二者进行线性组合得到.
因此该尺度函数并未满足多分辨率分析的第二个要求.

7.2

A)
令 $j_0=1$ 重新计算函数 $f(n)=\{1,4,-3,0\}$ 在区间 $[0, 3]$ 中的一维DWT.
$ϕ(n)={1,1,1,1}\phi(n)=\{1,1,1,1\}$
$ϕ1,0(n)=2ϕ(2n−0)=2{1,1,0,0}\phi_{1,0}(n)=\sqrt 2 \phi(2n-0)=\sqrt2\{1,1,0,0\}$
$ϕ1,1(n)=2ϕ(2n−1)=2{0,0,1,1}\phi_{1,1}(n)=\sqrt 2 \phi(2n-1)=\sqrt2\{0,0,1,1\}$

$ψ1,0(n)=2ψ(2n−0)=2{1,−1,0,0}\psi_{1,0}(n)=\sqrt 2 \psi(2n-0)=\sqrt2\{1,-1,0,0\}$
$ψ1,1(n)=2ψ(2n−1)=2{0,0,1,−1}\psi_{1,1}(n)=\sqrt 2 \psi(2n-1)=\sqrt2\{0,0,1,-1\}$

$Wϕ(1,0)=1/2∑xf(x)ϕ1,0(x)=1/2(1∗1+4∗1−3∗0+0∗0)=52/2W_{\phi}(1,0)=1/2 \sum_x f(x)\phi_{1,0}(x)=1/2(1*1+4*1-3*0+0*0)=5\sqrt2/2$
$Wϕ(1,1)=1/2∑xf(x)ϕ1,1(x)=1/2(1∗0+4∗0−3∗1+0∗1)=−32/2W_{\phi}(1,1)=1/2 \sum_x f(x)\phi_{1,1}(x)=1/2(1*0+4*0-3*1+0*1)=-3\sqrt2/2$
$Wψ(1,0)=1/2∑xf(x)ψ1,0(x)=1/2(1∗1+4∗−1−3∗0+0∗0)=−32/2W_{\psi}(1,0)=1/2 \sum_x f(x)\psi_{1,0}(x)=1/2(1*1+4*-1-3*0+0*0)=-3\sqrt2/2$
$Wψ(1,1)=1/2∑xf(x)ψ1,1(x)=1/2(1∗0+4∗0−3∗1+0∗−1)=−32/2W_{\psi}(1,1)=1/2 \sum_x f(x)\psi_{1,1}(x)=1/2(1*0+4*0-3*1+0*-1)=-3\sqrt2/2$

B)
使用(A)的结果根据变换值 $f (1)$

$W_{\phi}(1,0)\phi_{1,0}(n)+W_{\phi}(1,1)\phi_{1,1}(n)+W_{\psi}(1,0)\psi_{1,1}(n)+W_{\psi}(1,0)\psi_{1,1}(n))$

$f(1)=2/2(52/2∗1−32/2∗0−32/2∗(−1)−32/2∗0)=4f(1)=\sqrt 2/2(5\sqrt2/2*1 -3\sqrt2/2*0 -3\sqrt2/2*(-1) -3\sqrt2/2*0)=4$

7.3

现在假设我们有一个长度为8的信号f=[1 3 5 7 4 3 2 1], 利用哈尔小波进行两层的快速小波变换分解，计算各层的滤波器输出，然后再进行完美重建，请利用与书中例子相同的框图进行计算。

$Wϕ(2,n)=f(n)={1,3,5,7,4,3,2,1}W_{\phi}(2,n) =f(n)=\{1,3,5,7,4,3,2,1\}$
$ϕ(n)={1/2,1/2}\phi(n)=\{1/\sqrt2,1/\sqrt2\}$
$ψ(n)={1/2,−1/2}\psi(n)=\{1/\sqrt2,-1/\sqrt2\}$

$Wψ(1,n)={1,3,5,7,4,3,2,1}∗{−1/2,1/2}∣down2=1/2{−1,−2,−2,−2,3,1,1,1,0}∣down2=1/2{−2,−2,1,1}W_{\psi}(1,n)=\{1,3,5,7,4,3,2,1\}*\{-1/\sqrt2,1/\sqrt2\}|_{down2}=1/\sqrt2\{-1,-2,-2,-2,3,1,1,1,0\}|_{down2}=1/\sqrt2\{-2,-2,1,1\}$

$Wϕ(1,n)={1,3,5,7,4,3,2,1}∗{1/2,1/2}∣down2=1/2{1,4,8,12,11,7,5,3,0}∣down2=1/2{4,12,7,3}W_{\phi}(1,n)=\{1,3,5,7,4,3,2,1\}*\{1/\sqrt2,1/\sqrt2\}|_{down2}=1/\sqrt2\{1,4,8,12,11,7,5,3,0\}|_{down2}=1/\sqrt2\{4,12,7,3\}$

$Wψ(0,n)=1/2{4,12,7,3}∗{−1/2,1/2}∣down2={−4,2}W_{\psi}(0,n)=1/\sqrt2\{4,12,7,3\}*\{-1/\sqrt2,1/\sqrt2\}|_{down2}=\{-4,2\}$

$Wϕ(0,n)=1/2{4,12,7,3}∗{1/2,1/2}∣down2={8,5}W_{\phi}(0,n)=1/\sqrt2\{4,12,7,3\}*\{1/\sqrt2,1/\sqrt2\}|_{down2}=\{8,5\}$

重建:

$Wϕ(1,n)={−4,0,2,0}∗1/2{1,−1}+{8,0,5,0}∗1/2{1,1}=1/2{−4+8,4+8,2+5,−2+5}=1/2{4,12,7,3}W_{\phi}(1,n)=\{-4,0,2,0\}*1/\sqrt2\{1,-1\}+\{8,0,5,0\}*1/\sqrt2\{1,1\}=1/\sqrt 2\{-4+8,4+8,2+5,-2+5\}=1/\sqrt2\{4,12,7,3\}$

$f(n)=Wϕ(2,n)=1/2{−2,0,−2,0,1,0,1,0}∗1/2{1,−1}+1/2{4,0,12,0,7,0,3,0}∗1/2{1,1}=1/2{−2+4,2+4,−2+12,2+12,1+7,−1+7,1+3,−1+3}={1,3,5,7,4,3,2,1}f(n)=W_{\phi}(2,n)=1/\sqrt2\{-2,0,-2,0,1,0,1,0\}*1/\sqrt2\{1,-1\}+1/\sqrt2\{4,0,12,0,7,0,3,0\}*1/\sqrt2\{1,1\}=1/2\{-2+4,2+4,-2+12,2+12,1+7,-1+7,1+3,-1+3\}=\{1,3,5,7,4,3,2,1\}$