正题

bzoj没了，在darkbzoj交吧
题目链接:https://darkbzoj.tk/problem/3309

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题目大意

定义$f(x)$表示$x$所有质因数中最大的指数幂。

求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}f(gcd(i,j))$$

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解题思路

很显然要用莫反算，但是如果要算我们需要预处理${\sum }_{d|x}f(d)\mu (\frac{x}{d})$的前缀和

考虑如何线性筛这个东西，我们先需要两个东西$si{z}_x,mu{l}_x$分别表示$x$的质因子个数，和所有质因子的一次幂乘积。然后这个东西很容易用线性筛处理出来，之后定义$su{m}_x={\sum }_{d|x}f(d)\mu (\frac{x}{d})$。

那么当$x=mu{l}_x$时，我们选择两次的质因子是没有意义的，因为这些数的$\mu$为$0$。那么也就是一个大小为$si{z}_x$的集合，每个子集$S$会产生$(-1{)}^{|S|}$的贡献，那么可以发现这些贡献的和就是$(-1{)}^{si{z}_x+1}$。

如果当一个$y=x\ast mu{l}_x$时，也就是这些可以选择的数没有改变，所以同理$su{m}_y=su{m}_x$。

如果一个数不能被表达成以上形式时，它们的$sum$都为$0$。

然后线性筛加一个前缀和就好了，时间复杂度$O(N+T\sqrt{n+m})$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e7+10;
ll T,n,m,cnt,pri[N],siz[N],mul[N],sum[N];
bool v[N];
void Prime(){for(ll i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,siz[i]=1,mul[i]=i;if(mul[i]==i)sum[i]=(siz[i]&1)?1:-1;if(sum[i]&&(ll)i*mul[i]<N)sum[i*mul[i]]=sum[i];for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){siz[i*pri[j]]=siz[i];mul[i*pri[j]]=mul[i];break;}siz[i*pri[j]]=siz[i]+1;mul[i*pri[j]]=mul[i]*pri[j];}}for(ll i=1;i<N;i++)sum[i]+=sum[i-1];return;
}
int main()
{Prime();scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);ll ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans+=(n/l)*(m/l)*(sum[r]-sum[l-1]);}printf("%lld\n",ans);}
}