正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5895

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题目大意

$n$个点的一个森林，加入若干条长度为$L$的边使它变成一个树，求这棵树的最小直径。

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解题思路

显然最优情况一定是以某个节点作为中间展开的一个菊花图（每棵树看做一个点）。

而且每个被连接的节点一定是树上的一个节点满足离它最远的节点最近。我们的定义这个距离为这棵树的半径$r$。

那么答案分为三种情况（以下的$r$按照大小排序）

1. 某棵树的直径
2. $r_1+r_2+l$（$r_1$的树作为中心，$r_2$连接这个点）
3. $r_2+r_3+l\ast 2$（$r_1$的树作为中心，直径跨越这个中间点）

然后树形$dp$求解即可，时间复杂度$O(n)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct node{int to,next,w;
}a[N*2];
int l,n,m,ans,tot,cnt,tmp,r[N],g[N],f[N],ls[N],fr[N];
bool v[N];
void addl(int x,int y,int w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;return;
}
void dfs(int x,int fa){v[x]=1;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);if(f[y]+a[i].w>f[x])g[x]=f[x],f[x]=f[y]+a[i].w,fr[x]=y;else if(f[y]+a[i].w>g[x])g[x]=f[y]+a[i].w;}ans=max(ans,f[x]+g[x]);return;
}
void dp(int x,int fa){tmp=min(tmp,f[x]);for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to,w;if(y==fa)continue;if(y==fr[x])w=g[x]+a[i].w;else w=f[x]+a[i].w;if(w>f[y])g[y]=f[y],f[y]=w,fr[y]=x;else if(w>g[y])g[y]=w;dp(y,x);}return;
}
int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&m,&l);for(int i=1;i<=m;i++){	int x,y,w;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);x++;y++;addl(x,y,w);addl(y,x,w);}for(int i=1;i<=n;i++){if(v[i])continue;dfs(i,0);tmp=2147483647;dp(i,0);r[++cnt]=tmp;}sort(r+1,r+1+cnt);if(cnt>=2)ans=max(ans,r[cnt]+r[cnt-1]+l);if(cnt>=3)ans=max(ans,r[cnt-1]+r[cnt-2]+l*2);printf("%d\n",ans);return 0; 
}