玩具装箱

luogu 3195

题目大意

有n件物品，每件物品有相对的长度$C_i$现在要把这n件物品放到容器中，切放的物品必须是连续的，若把第i件物品到第j件物品放到一个容器中，那此容器的长度定义为$x=j-i+{\sum }_{k=i}^j{C}_i$，此容器的费用即为$(x-L{)}^2$（L是常数），现在问你把所有物品放倒容器中，费用之和最小是多少

输入样例

5 4
3
4
2
1
4

输出样例

1

数据范围

对于全部的测试点，$1\le n\le 5\times 10^4$，$1\le L\le 10^7$，$1\le C_i\le 10^7$。

解题思路

我们设f[i]为把1至i的所有物品放进容器中的最小费用，那我们可以得出转移方程：
$$f_i=f_j+(i-(j+1)+su{m}_i-su{m}_j-L{)}^2$$
注：sum是C的前缀和，这个范围是j+1到i所以减的是j+1，前缀和减的是sum[(j+1)-1]
但是会超时间，所以我们要考虑优化
我们可以变式为：
$$f_i=f_j+((i+su{m}_i-1-L)-(j+su{m}_j){)}^2$$
然后把平方拆开，得到：
$$f_i=f_j+(i+su{m}_i-1-L{)}^2-2\ast (i+su{m}_i-1-L)\ast (j+su{m}_j)+(j+su{m}_j{)}^2$$
若有决策点a,b满足a>b且a比b优
则
$$f_a+(i+su{m}_i-1-L{)}^2-2\ast (i+su{m}_i-1-L)\ast (a+su{m}_a)+(a+su{m}_a{)}^2<f_j+(i+su{m}_i-1-L{)}^2-2\ast (i+su{m}_i-1-L)\ast (b+su{m}_b)+(b+su{m}_b{)}^2$$
变式
$$f_a-2\ast (i+su{m}_i-1-L)\ast (a+su{m}_a)+(a+su{m}_a{)}^2<f_j-2\ast (i+su{m}_i-1-L)\ast (b+su{m}_b)+(b+su{m}_b{)}^2$$
$$(f_a+(a+su{m}_a{)}^2)-(f_b+(b+su{m}_b{)}^2)<2\ast (i+su{m}_i-1-L)\ast ((a+su{m}_a)-(b+su{m}_b))$$
$$((f_a+(a+su{m}_a{)}^2)-(f_b+(b+su{m}_b{)}^2))/((a+su{m}_a)-(b+su{m}_b))<2\ast (i+su{m}_i-1-L)$$
设
$x_i=i+su{m}_i$
$y_i=f_i+(i+su{m}_i{)}^2$
则
$(y_a-y_b)/(x_a-x_b)<2\ast (i+su{m}_i-1-L)$
带入模板即可

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n, L, l, r, a[50010], sum[50010], x[50010], y[50010], q[50010], f[50010];
int main()
{scanf("%lld %lld", &n, &L);for (ll i = 1; i <= n; ++i){scanf("%lld", &a[i]);sum[i] = sum[i - 1] + a[i];x[i] = sum[i] + i;}memset(f, 127/3, sizeof(f));f[0] = 0;q[1] = 0;l = 1;r = 1;for (ll i = 1; i <= n; ++i){while(l < r && (y[q[l + 1]] - y[q[l]]) <= 2 * (x[i] - 1 - L) * (x[q[l + 1]] - x[q[l]]))l++;//模板f[i] = f[q[l]] + (x[i] - x[q[l]] - 1 - L) * (x[i] - x[q[l]] - 1 - L);y[i] = f[i] + x[i] * x[i];while(l < r && (y[q[r]] - y[q[r - 1]]) * (x[i] - x[q[r]]) >= (y[i] - y[q[r]]) * (x[q[r]] - x[q[r - 1]])) r--;q[++r] = i;}printf("%lld", f[n]);return 0;
}