正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3265

---

题目大意

给出$n$个有权值的$m$元组。求最大独立集，即一个最大的集合且内部元素线性无关。且在集合最大的情况下权值和最小

通俗的说就是没有任何一个元素内被其他元素的倍数和表示。

---

解题思路

我们考虑线性基的本质就是拟阵的一个最大独立集，我们可以用线性基的方法来做。

也就是需要构造一个实数线性基。根据之前[BJWC2011]元素这道题的方法，我们知道我们可以根据权值从小到大加入直到无法加入为止。

考虑如何用拟阵证明这个贪心的最优性。设一个拟阵$(S,L)$，定义$T$是最优集合，现在我们知道了一个$A$是$T$的子集，考虑证明加入一个目前权值最小的$w$有A∪{x}⊆TA\cup \{x\}\subseteq TA∪{x}⊆T。
证明

• 若A′=A∪{x}A'=A\cup\{x\}A′=A∪{x}且$A^{\prime }⊈T$那么，先定义一个$T^{\prime }=A^{\prime }$若$|T^{\prime }|<|T|$，根据拟阵的交换性则一定存在一个$t\in T$且$t\notin T^{\prime }$且T′∪{x}∈LT'\cup\{x\}\in LT′∪{x}∈L。那么我们不停将$x$加入$T^{\prime }$中直到$|T^{\prime }|=T$那么此时有(T′−{w})∪{x}=T(T'-\{w\})\cup\{x\}=T(T′−{w})∪{x}=T。也就是$val(T^{\prime })-val(w)+val(x)=val(T)$。
  而又因为$val(w)<val(x)$所以$val(T^{\prime })<val(T)$，那么$T$就不是最优子集，所以不成立。
  证毕

所以我们就这样从小到大加即可，时间复杂度$O(n{m}^2)$

---

$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=510;
const double eps=1e-5;
struct node{double x[N];int w;
}a[N];
int n,m,cnt,p[N],ans;
bool cmp(node x,node y)
{return x.w<y.w;}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%lf",&a[i].x[j]);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i].w);sort(a+1,a+1+n,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++)if(fabs(a[i].x[j])>eps){if(!p[j]){p[j]=i;cnt++;ans+=a[i].w;break;}else{double rate=a[i].x[j]/a[p[j]].x[j];for(int k=j;k<=m;k++)a[i].x[k]-=a[p[j]].x[k]*rate;}}}printf("%d %d\n",cnt,ans);
}