正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5516

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题目大意

$n$个字母的一个字符串，每次随机选取两个不同的位置$(x,y)$让第$x$个位置的字符变成第$y$个位置的字符。

求期望多少次能够把所有字符变成同一个。

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解题思路

因为最终状态很多，所以我们考虑枚举最终状态，我们称之为目标状态。

设$p_i$表示目标状态的字符有$i$个时，该状态变为最终状态的概率，那么有$$p_i=\frac{i(n-i)}{n(n-1)}{p}_{i-1}+\frac{n(n-1)-2i(n-i)}{n(n-1)}+\frac{i(n-i)}{n(n-1)}{p}_{i+1}\Rightarrow p_i=\frac{p_{i-1}+p_{i+1}}{2}$$
我们观察一下这个式子，其实等价于$p_i-p_{i-1}=p_{i+1}-p_i$表示$p$是一个等差数列，而$p_0=0,p_n=1$所以$p_i=\frac{i}{n}$

然后设$f_i$表示目标状态有$i$个且是最终状态的情况下到达最终状态的期望步数，而因为 数学期望=概率×步数 ，和 单次期望=$\frac{1}{单次概率}$

所以我们成功造成一次变化的期望次数是$\frac{1}{\frac{2i(n-i)}{n(n-1)}}$，又因为多和少的概率是相等的，所以有方程
$$f_i{p}_i=p_i\frac{n(n-1)}{2i(n-i)}+\frac{p_{i+1}{f}_{i+1}+p_{i-1}{f}_{i-1}}{2}$$
因为知道$p_i=\frac{i}{n}$所以直接带进去解出来就有
$$f_i=\frac{n(n-1)}{2i(n-i)}+\frac{i-1}{2i}{f}_{i-1}+\frac{i+1}{2i}{f}_{i+1}$$
换一个方式表达就是
$$(-\frac{i-1}{2i}{f}_{i-1})+(f_i)+(-\frac{i+1}{2i}{f}_{i+1})=\frac{n(n-1)}{2i(n-i)}$$
又有$f_n=0$
这样问题就变成了$n-1$个线性方程的方程组，因为每个方程组只有三个元，高斯消元会有大量多余步骤，所以我们直接手动先消掉$f_{i-1}$再返回来消掉$f_{i+1}$就好了。

时间复杂度$O(n)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2100;
int n,num[26];
double f[N],a[N],ans;
char s[N];
int main()
{scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);for(int i=1;i<=n;i++)num[s[i]-'A']++;for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=n*(n-1)/(2.0*i*(n-i));a[1]=1;for(int i=1;i<n;i++){double r=-(i+1)/(2.0*i),l=-i/(2.0*(i+1));double k=-l/a[i];f[i+1]+=f[i]*k;a[i+1]=1+k*r;}f[n]=0;for(int i=n-1;i>=1;i--){double r=-(i+1)/(2.0*i);f[i]-=f[i+1]*r,f[i]=f[i]/a[i];}for(int i=0;i<26;i++)ans+=num[i]*f[num[i]]/(double)n;printf("%.1lf\n",ans);
}