正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4091

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题目大意

给出$n$，求
$$\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^i\left\{\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right\}{2}^{j}j!$$

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解题思路

看题解才知道$2^{j}j!$对这$n\log n$做法没有任何意义，卡了好久。
首先斯特林数的通项公式是$$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}=\frac{1}{m!}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(m-k{)}^n$$
$$\Rightarrow \sum _{k=0}^m\frac{(-1{)}^k(m-k{)}^n}{k!(m-k)!}$$

提到这个式子来（因为如果$j>i$就是$0$所以直接不管这个限制）
$$\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^n{2}^{j}j!\sum _{k=0}^j\frac{(-1{)}^k(j-k{)}^n}{k!(j-k)!}$$
然后把枚举$i$的那层丢到分数那里
$$\sum _{j=0}^n{2}^{j}j!\sum _{k=0}^j\frac{(-1{)}^k{\sum }_{i=0}^n(j-k{)}^i}{k!(j-k)!}$$
然后这个后面式子就可以卷积了，定义$F(x)=\frac{(-1{)}^x}{x!},G(x)=\frac{{\sum }_{i=0}^n{x}^n}{x!}$
然后$G$通项公式一下就是$G(x)=\frac{x^{n+1}-1}{(x-1)x!}$
时间复杂度$O(n\log n)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=6e5+10,P=998244353;
struct poly{ll a[N],n;
}G,F;
ll n,ans,fac[N],inv[N],fnv[N],r[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){for(ll i=0;i<n;i++)if(r[i]<i)swap(f[i],f[r[i]]);for(ll p=2;p<=n;p<<=1){ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);for(ll k=0;k<n;k+=p){ll buf=1;for(ll i=k;i<k+len;i++){ll tt=buf*f[i+len]%P;f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;f[i]=(f[i]+tt)%P;buf=buf*tmp%P;}}}if(op==-1){ll invn=power(n,P-2);for(ll i=0;i<n;i++)f[i]=f[i]*invn%P;}return;
}
void mul(poly &a,poly &b){ll n=1;while(n<=a.n+b.n)n<<=1;for(ll i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)^((i&1)?(n>>1):0);NTT(a.a,n,1);NTT(b.a,n,1);for(ll i=0;i<n;i++)a.a[i]=a.a[i]*b.a[i]%P;NTT(a.a,n,-1);return;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);fac[1]=fac[0]=fnv[0]=inv[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;for(ll i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,fnv[i]=inv[i]*fnv[i-1]%P;F.a[0]=G.a[0]=1;F.a[1]=P-1;G.a[1]=n+1;fnv[0]=0;for(ll i=2;i<=n;i++){F.a[i]=(i&1)?(P-fnv[i]):fnv[i];G.a[i]=(power(i,n+1)-1)*inv[i-1]%P*fnv[i]%P;}G.n=F.n=n;mul(G,F);for(ll i=0,pw=1;i<=n;i++){(ans+=G.a[i]*pw%P*fac[i]%P)%=P;pw=pw*2%P;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}