正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF662C

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题目大意

$n\ast m$的网格上有$0/1$，可以任意翻转行和列，求剩下最少的$1$。

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解题思路

知道是$FWT$之后就好做很多了。

首先因为$n$很小，所以可以考虑枚举翻转的行数，我们现在需要对于一个行的翻转状态快速知道最小值。

如果一行状态$s$翻转行状态$w$之后就相当于$val(sxorw)$反过来也就是若$c=sxorw$那么$sxorc=w$。

此时就可以上$FWT$了，设$va{l}_i$表示列状态$i$的最小值，$nu{m}_i$表示列状态$i$的数量。那么$$ans(s)=\sum _{ixorj=s}va{l}_i\times nu{m}_j$$

上$FWT$即可，时间复杂度$O(2^{n}n+nm)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=(1<<21);
ll n,m,val[N],num[N],ans;
char s[20][110000];
void FWT(ll *f,ll op){for(ll p=2;p<=n;p<<=1)for(ll k=0,len=p>>1;k<n;k+=p)for(ll i=k;i<k+len;i++){ll x=f[i],y=f[i+len];f[i]=(x+y)/op;f[i+len]=(x-y)/op;}return;
}
void solve(ll *a,ll *b){FWT(a,1);FWT(b,1);for(ll i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*b[i];FWT(a,2);return;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%s",s[i]);ll MS=(1<<n);for(ll i=1;i<MS;i++)val[i]=val[i-(i&-i)]+1;for(ll i=0;i<MS;i++)val[i]=min(val[i],n-val[i]);for(ll i=0;i<m;i++){ll w=0;for(ll j=0;j<n;j++)w+=(s[j][i]=='1')<<j;num[w]++;}n=MS;solve(val,num);ans=1e9;for(ll i=0;i<n;i++)ans=min(ans,val[i]);printf("%lld\n",ans);
}