圆方树是根据点双把无向图缩点所形成的树。
我们把每一个点双缩成一个 “方点”，把原有的点称作 “圆点”。然后我们把原图的边全部删除，让每个点向其所属的点双的 “方点” 连边。
显然，一个割点会向多个方点连边，而由此，除了根节点以外，所有的非割点都是叶子节点。 我们也知道，圆点和圆点之间不会互相连边，方点和方点之间也不会互相连边。

（第一个是原图，第三个是原图对应的圆方树）

应用：

• 处理有关简单路径的问题
• 处理有关图的连通性的问题
• %%%大佬的Blog

题意：判断每个点是否能在奇环内。

题解：若点在一个奇环内，则这个环一定在点所在的点双内，而点双中只要存在一个奇环，点双中的所有点都可以在奇环上。奇环的判断：二分图染色后，只要有一个点和它的相邻节点的颜色相同，就找到了奇环。

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%%%zjr学长

摘自此Blog

题意：有一个无向图，它没有重边和自环。现在有一些询问，形如“$u,v$之间是否存在一条长度为奇数的简单路径？” 这里简单路径定义为不经过重复的点的路径。

题解：首先建出dfs树，然后判断$u,v$间的树上路径长度是否为奇数
不是奇数的话考虑原图的圆方树，因为任意两点间的简单路径都可以拆分成经过的点双，所以就有以下结论：
对于树上距离为偶数的$u,v$，它们之间存在长度为奇数的简单路径当且仅当它们的树上路径经过了至少一条在奇环上的边
所以只需要求树上路径是否经过这样的边，每找到一个奇环，这个奇环所在的点双所包含的边都是满足要求的边，tarjan预处理即可

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如果这个图本身就是强连通的，不用加任何边。
否则把每个强连通分量缩成一个点，得到一个$DAG$。记$in[i]$为点$i$的入度，$out[i]$为点$i$的出度，那么$DAG$上的点可以分为以下四类：

1. $in[i]>0,out[i]>0$
2. $in[i]=0,out[i]>0$
3. $in[i]>0,out[i]=0$
4. $in[i]=0,out[i]=0$

贪心策略：第3类点向第2,4类点连边，第4类点再向第2类点连边
所以令$DAG$变为强连通，加的最少边数为$max(入度为0的点数,出度为0的点数)$

题解：
把边双缩成点。
$tarjan$缩点后图变成树，首先特判树中点数$n\le 2$的情况。
考虑$n>2$的情况，答案为$\lfloor \frac{cn{t}_{leaf}+1}{2}\rfloor$。
构造具体方案时，以任意度大于$1$的点为根，只需要保证任意两个叶子连边后与根成环，
当奇数个叶子时，可以将一个叶子与根相连，又转换成了偶数叶子情况。

具体构造：
$tarjan$缩点后图变成树，选择度数大于$1$的点为根，按照$dfs$序存下所有叶子，$leaf[i]$表示按$dfs$序排序后的第$i$个叶子，共$g$个叶子。
将$leaf[i]$与$leaf[i+\lfloor \frac{g}{2}\rfloor ]$连边，($i\le \lfloor \frac{g+1}{2}\rfloor$)。

构造方法证明：
见2020牛客多校第三场C

“必须经过的边”就是$s$到$t$路径上的割边，把无向图中的边双缩成点，得到一棵树，求树的直径即可。

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$d\le 50$

摘自此Blog

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在边双内走，一定能回到原点，故把边双缩成点。

然后就是树形DP：
$f[cur]$代表走到$cur$子树还能回的贡献，$g[cur]$代表走到$cur$子树回不来的贡献，题目所求即为$g[s]$。

先考虑$f$的转移， 如果子节点能回来：$f[cur]+=f[to]$
然后$g[cur]=max(g[to])+f[cur]$（走完所有可以返回的儿子再找个最大的不能返回的）

这样有一个问题，如果$f[cur]<g[cur]$，结点$cur$是否要返回
于是再：$g[cur]=max(g[cur],f[cur]-f[to]+g[to])$
摘自此Blog

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题意：在线查询一个无向图加入一条边后减少了多少条桥。
题解：先将所有的边双缩点，得到一颗树。初始时桥数即为树的边数，树边边权皆为1。
每次询问加入边$(x,y)$，设$c[i]$表示点$i$所在边双。
若$c[x]==c[y]$，无影响。
否则，减去的桥数为树上$c[x]$到$c[y]$的路径上边权的和，然后把该路径上树边的边权全部改为0。

摘自此Blog