【决策单调性】玩具装箱（金牌导航决策单调性优化DP-1）

玩具装箱

金牌导航决策单调性优化DP-1

题目大意

给出若干个物品，把 $i$ 到 $j$ 个物品装在一起的长度 $l=j−i+∑k=ijakl=j-i+\sum_{k=i}^{j}a_k$ （物品必须是连续的），其代价为 $l + L)^2$ （L为给出的常数），问把所有物品装起来的最小代价

输入样例

输出样例

样例解释

按3,4,21,4分配
代价为1+0+0+0=1

数据范围

$1⩽N⩽5×104,1⩽L,ai⩽1071\leqslant N \leqslant 5\times 10^4,1\leqslant L,a_i\leqslant 10^7$

解题思路

设f_i为前i个物品装完的最小代价
那么有
$f_i=min_{j=1}^{i-1}(f_j + (l-L)^2)$
把代入四边形不等式，然后暴力拆开，可以证明其满足决策单调性
然后代入决策单调性的模板即可

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 50010
using namespace std;
ll n, L, l, r, mid, top, a[N], f[N], d[N], lt[N];
ll g(ll x, ll y)
{return f[x] + (y - x - 1 + a[y] - a[x] - L) * (y - x - 1 + a[y] - a[x] - L);
}
ll find(ll x)
{ll l = 1, r = top;while(l < r){ll mid = (l + r + 1) >> 1;if (x < lt[mid]) r = mid - 1;else l = mid;}return d[l];
}
int main()
{scanf("%lld%lld", &n, &L);for (ll i = 1; i <= n; ++i){scanf("%lld", &a[i]);a[i] += a[i - 1]; }lt[++top] = 1;d[top] = 0;for (ll i = 1; i <= n; ++i){f[i] = g(find(i), i);while(top && g(i, lt[top]) < g(d[top], lt[top])) top--;l = lt[top];r = n;while (l < r){mid = (l + r) >> 1;if (g(i, mid) < g(d[top], mid)) r = mid;else l = mid + 1;}if (g(i, l) > g(d[top], l)) continue;d[++top] = i;lt[top] = l;}printf("%lld", f[n]);return 0;
}