正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6178

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题目大意

给出一个$n$个点$m$条边的无向/有向图。

求所有的生成树/以1为根的外向生成树的权值乘积和。

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解题思路

矩阵$A$的行列式表示为$det(A)$，定义为
$$det(A)=\sum _P(-1{)}^{\mu (P)}\prod _{i=1}^n{A}_{i,p_i}$$
其中$P$是一个$1\sim n$的排列，$\mu (P)$表示排列$P$的逆序对数量

即每一行选择一个数乘起来，容斥系数与排列逆序对数量有关

我们需要解决的问题是如何快速求出一个矩阵的行列式，考虑如果对于所有行$i$都满足$i+1\sim n$都没有值，那么此时有$det(A)={\prod }_{i=1}^n{A}_{i,i}$。这个很容易理解，因为如果一行选择的不是$i$，那么一定存在有一行$j$的选择大于$j$，那么此时这个方案的权值就为$0$了。

那么我们需要将一个矩阵变换成一个行列式不变的上三角矩阵，这里需要用到行列式的初等变换

1. 若交换两行，那么行列式。因为交换后原来权值相同的容斥系数都会变化，所以值取反。
2. $$\left[\begin{array}{c}a+x,b+y\\ c,d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a,b\\ c,d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}x,y\\ c,d\end{array}\right]$$乘法分配率可得
3. 若有两行完全相同，那么这个行列式为$0$。证明方法是交换这两行后矩阵不变理论上行列式也不便，但是行列式取反了，也就是原行列式为$0$
4. 若让一行加上另一行那么行列式不变，证明的话$$\left[\begin{array}{c}a,b\\ a,b\end{array}\right]=0$$ $$\left[\begin{array}{c}a,b\\ a+c,b+d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a,b\\ a,b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}a,b\\ c,d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a,b\\ c,d\end{array}\right]$$

然后这样就可以用高斯消元的方法消矩阵了，然后就可以求出行列式了。

回到这题来，矩阵树定理大体来说就是，$A$表示一张无向图的邻接矩阵，$D$表示度数矩阵（$D_{i,i}$为$i$的度数，其他为$0$）。去掉$D$和$A$的第$k$行和第$k$列之后就有$det(D-A)$就表示这张图的生成树个数。

当然有向图也可以，如果是外向树，那么$D$表示入度矩阵，内向就是出度矩阵，若$x$为根，去掉第$x$行第$x$列之后$det(D-A)$就是答案了。

这里是求权值乘积和，重边数等于权值就好了。

时间复杂度$O(n^3)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=310,P=1e9+7;
ll n,m,t,ans,a[N][N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void dec(){ll f=1;ans=1;for(ll i=2;i<=n;i++){ll w=i;for(ll j=i;j<=n;j++)if(a[i][j]){if(i!=j)f=-f;w=j;break;}swap(a[i],a[w]);ll inv=power(a[i][i],P-2);ans=ans*a[i][i]%P;if(!a[i][i])return;for(ll j=i;j<=n;j++)a[i][j]=a[i][j]*inv%P;for(ll j=i+1;j<=n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=i;k<=n;k++)a[j][k]=(a[j][k]+rate*a[i][k]%P+P)%P;}}ans=ans*f;return;
}
int main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&t);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y,w;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&w);if(t)a[y][y]=(a[y][y]+w)%P,a[x][y]=(a[x][y]-w)%P;else a[x][x]=(a[x][x]+w)%P,a[y][y]=(a[y][y]+w)%P,a[x][y]=(a[x][y]-w)%P,a[y][x]=(a[y][x]-w)%P;}dec();printf("%lld\n",(ans+P)%P);
}