D2. Mocha and Diana (Hard Version)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
template <class T=int> T rd()
{T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg;
}const int N=100010;int n,m1,m2;
struct dsu 
{vector<int> fa;dsu(int n):fa(n){iota(fa.begin(),fa.end(),0);}int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}void merge(int x,int y){x=find(x),y=find(y);if(x>y) swap(x,y);fa[y]=x;}
}; 
int main()
{n=rd(),m1=rd(),m2=rd();dsu t1(n+1),t2(n+1);while(m1--){int u=rd(),v=rd();t1.merge(u,v);}while(m2--){int u=rd(),v=rd();t2.merge(u,v);}vector<int> v1,v2;vector<pair<int,int>> ans;for(int i=2;i<=n;i++) {if(t1.find(i)!=1&&t2.find(i)!=1) {ans.push_back({1,i});t1.merge(1, i);t2.merge(1, i);}if(t1.find(i)!=1)v1.push_back(i);if(t2.find(i)!=1)v2.push_back(i);}while(!v1.empty()&&!v2.empty()) {if(t1.find(v1.back())==1&&t2.find(v1.back())==1) {v1.pop_back();continue;}   if(t1.find(v2.back())==1&&t2.find(v2.back())==1){v2.pop_back();continue;}ans.push_back({v1.back(),v2.back()});t1.merge(v1.back(),v2.back());t2.merge(v1.back(),v2.back());v1.pop_back();v2.pop_back();} printf("%d\n",(int)ans.size());for(auto t:ans) printf("%d %d\n",t.first,t.second);
}

Code2

晚上刷b站刷到neal大神，发现这个随机做法很吊，于是写一下，顺便学习下pb_ds

$\text{n}$$\text{eal}$大神的做法

首先将图1连边后变成若干个连通块，同样将图2连边后也变成若干个连通块。
最终能够连边的数量一定是让某个图变成一棵树。于是对于连边的答案数量是固定的。

对于每次连边，我们随机从图一或者图二中随机随机选择某个连通块的某两个点，看看它们是否能够连边，如果能就连上，就这样随机连边。

yy一下感觉每次连边成功的概率非常大。why？

考虑冲突的概率：假设图1中有x个连通块，图2中有y个连通块

不冲突的大致概率$$1-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}+\text{cst}$$

图一冲突或者图二冲突。
$\text{cst}$根据容斥原理在两个图中都冲突的概率。

x或y都必须大于1，于是概率会大于$\frac{1}{2}$，已经比较大了。

需要维护并查集有哪些点，可以用个vector<int> lis维护，合并的时候启发式合并。

维护连通块需要用pb_ds库，我们需要快速find_by_order，并且支持快速插入删除，需要平衡树。

#include<bits/stdc++.h>
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
using ll=long long;template <class T=int> T rd()
{T res=0;T fg=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') fg=-1;ch=getchar();}while( isdigit(ch)) res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();return res*fg;
}
template<typename T>
using ordered_set = tree<T,null_type,less<T>,rb_tree_tag,tree_order_statistics_node_update>;const int N=100010;int n,m1,m2;
struct dsu 
{vector<int> fa;vector<vector<int>> lis;int cnt; //连通块的数量dsu(int n){fa.resize(n);lis.resize(n);cnt=n-1;for(int i=0;i<n;i++) fa[i]=i,lis[i]={i};}int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}bool merge(int x,int y){x=find(x),y=find(y);if(x==y) return false;if(lis[x].size()<lis[y].size()) swap(x,y);lis[x].insert(lis[x].end(),lis[y].begin(),lis[y].end());lis[y].clear();fa[y]=x;cnt--;return true;}
}; std::mt19937 rnd(233);
int main()
{n=rd(),m1=rd(),m2=rd();dsu t1(n+1),t2(n+1);while(m1--){int u=rd(),v=rd();t1.merge(u,v);}while(m2--){int u=rd(),v=rd();t2.merge(u,v);}int need=min(t1.cnt,t2.cnt)-1;ordered_set<int> rt1,rt2;for(int i=1;i<=n;i++){if(t1.find(i)==i) rt1.insert(i);if(t2.find(i)==i) rt2.insert(i);}// 随机从图中的某个连通块找某个点auto get_random=[&](dsu &t,ordered_set<int> &rt)->int{int u=*rt.find_by_order((rnd()%rt.size()+rt.size())%rt.size());return t.lis[u][(rnd()%t.lis[u].size()+t.lis[u].size())%t.lis[u].size()];};// 随机找一个图auto get_random_node=[&]()->int{if(rnd()%2==0) return get_random(t1,rt1);else return get_random(t2,rt2);};vector<pair<int,int>> ans;while(ans.size()<need){// 随机出两点 a b看看是否能够连边int a=get_random_node();int b=get_random_node();if(t1.find(a)!=t1.find(b)&&t2.find(a)!=t2.find(b)){ans.push_back({a,b});rt1.erase(rt1.find(t1.find(a)));rt1.erase(rt1.find(t1.find(b)));rt2.erase(rt2.find(t2.find(a)));rt2.erase(rt2.find(t2.find(b)));t1.merge(a,b);t2.merge(a,b);rt1.insert(t1.find(a));rt2.insert(t2.find(a));}}printf("%d\n",(int)ans.size());for(auto t:ans) printf("%d %d\n",t.first,t.second);
}