正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7515

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题目大意

有一个$n\ast m$的矩形$A$，然后给出一个$(n-1)\ast (m-1)$的矩形$B$满足
$$B_{i,j}=A_{i,j}+A_{i+1,j}+A_{i,j+1}+A_{i+1,j+1}$$

求能否构造合法矩形$A$使得$0\le a_{i,j}\le 10^6$

$1\le T\le 10,1\le n,m\le 300,0\le b_{i,j}\le 4\times 10^6$

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解题思路

如果不考虑$a_{i,j}$的限制显然很容易构造一个方案。

然后要考虑怎么调整到满足限制，不难发现我们每行/列进行$+1/-1/+1/-1...$操作不会改变$b$数组上的值，所以我们设$c_i$表示第$i$行进行了多少次，第$j$行进行了多少次，那么有
$$0\le a_{i,j}\pm c_i\pm d_j\le 10^6$$

如果我们控制使得每个位置的$c_i$和$d_j$的符号不同那么就可以进行差分约束了。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=610;
struct node{ll to,next,w;
}a[N*N];
ll T,n,m,b[N][N],c[N][N];
ll tot,cnt[N],ls[N],f[N];
bool v[N];deque<int> q;
void addl(ll x,ll y,ll w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;return;
}
bool SPFA(){memset(f,0x3f,sizeof(f));memset(cnt,0,sizeof(cnt));q.push_back(1);v[1]=cnt[1]=1;f[1]=0;while(!q.empty()){ll x=q.front();v[x]=0;q.pop_front();for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(f[x]+a[i].w<f[y]){f[y]=f[x]+a[i].w;cnt[y]=cnt[x]+1;if(cnt[y]>=n+m&&a[i].w<0)return 1;if(!v[y]){v[y]=1;if(!q.empty()&&f[y]<f[q.front()])q.push_front(y);else q.push_back(y);}}}}return 0;
}
signed main()
{scanf("%lld",&T);while(T--){memset(ls,0,sizeof(ls));tot=0;scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<n;i++)for(ll j=1;j<m;j++)scanf("%lld",&b[i][j]);memset(c,0,sizeof(c));for(ll i=1;i<=m;i++)c[1][i]=0;for(ll i=2;i<=n;i++){c[i][1]=0;for(ll j=2;j<=m;j++)c[i][j]=b[i-1][j-1]-c[i-1][j-1]-c[i-1][j]-c[i][j-1];}for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=m;j++){if((i+j)&1)addl(i,j+n,c[i][j]),addl(j+n,i,1e6-c[i][j]);else addl(j+n,i,c[i][j]),addl(i,j+n,1e6-c[i][j]);}if(!SPFA()){puts("YES");for(ll i=1;i<=n;i++,putchar('\n'))for(ll j=1;j<=m;j++){if((i+j)&1)c[i][j]=c[i][j]+f[i]-f[j+n];else c[i][j]=c[i][j]-f[i]+f[j+n];printf("%lld ",c[i][j]);}}else puts("NO");}return 0;
}