直线：

struct Line{point p,v;Line(){}Line(point _p.point _v):p(_p),v(_v){}
}L[N];

图形：

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求垂足

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point vp(Line l,point p)//求p点向l做垂线得到的垂足 
{double Dis=dis(l,p);//求p到l的距离Dis Dis=Dis*Dis;double pDis=(p-l.p).length();//求AP距离pDis pDis=pDis*pDis;double vDis=sqrt(pDis-Dis);//勾股定理得到AH距离 point ans=l.p+l.v*(vDis/l.v.length());//通过方向单位向量乘长度得到路径，加起点得到答案 return ans;
}

求两圆交点

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先求余弦定理 cosp1
反函数角p1
p1p2旋转到p11T方向
调整长度
p1+p1T向量=T
代码：

point get_intersection(circle A,circle B)
{point AB=B.o-A.o;double costheta=AB.length() * AB.length() + A.r *A.r-B.r*B.r;costheta=costheta/(2*AB.length()*A.r);//余弦定理AB=AB.rotatr(acos(costheta));//旋转theta角return A.o+AB*(A.r/AB.length()); 
}

直线与圆交点

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代码：

point get_intersection(circle A,Line B)
{point H=vp(B,A.o);//求垂线 double OH=(H-A.o).length();double HY=sqrt(A.r * A.r -OH * OH);return H + B.v *(HY/B.v.length());// return H + B.v *(-HY/B.v.length());
}

点+单位向量 * 长度

多边形问题

平面上n个点收尾顺次连接组成的平面图形
可能是凸多边形或者凹多边形

判断一个点是否在任意多边形内部

从这个点出发引一条射线，如果这个射线与多边形有奇数个交点则在内部，否则在外部在这里插入图片描述

double calc_S()
{double ans=0;int n=poly.size();for(int i=1;i<n;i++)ans+=poly[i-1]^poly[i];ans+=poly[n-1]^poly[0];return ans/2;
}

Pick定理

对于顶点都是整点的多边形，设其面积为S，多边形内部的点数为a，边上的点数为b，那么满足：
S = a + b/2 - 1

凸包

给出一个二维平面内的点集，如果任意两个点的连线都在点集内，则这个点集是个凸集
对于给定的散点集X，包含X的所有凸集的交集S叫做X的凸包
点就是墙上的钉子，用一个橡皮筋套在外面，收缩后形成的凸多边形就是凸包

求点集的凸包

水平法：

凸包一般使用水平法求解
将凸包分为上凸壳和下凸壳两部分，分别求解
每一部分按照x的坐标排序，用单调栈维护，利用叉积的符号判断凹凸性
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增量法：

在这里插入图片描述
判断情况：
此时B合法

此时B不合法

不合法的点一定是最后添加入S的，且是连续的

//判断上凸包
sort(poly.begin(),poly.end(),cmp);
int top=0,n=poly.size();
Stack[++top]=poly[0];
for(int i=1;i<n;i++)
{point C=poly[i];while(top>1){point B=Stack[top];point A=Stack[top-1];point AB=B-A;point AC=C-A;if((AB^AC)>eps)top--;else break;}Stack[++top]=C;
}

半平面

• 顾名思义，就是平面的一半。一条直线会把平面分成两部分，就是两个半平面。对于半平面，我们可以用直线方程式如： ax+by+c > 0 表示，更常用的是用直线表示

半平面交

• 顾名思义，就是多个半平面求交集。其结果可能是一个凸多边形、无穷平面、直线、线段、点等。 • 什么时候需要半平面交？
• 1. 二维线性规划（高中数学）
• 2. 求多边形的核 • 多边形的核：如果多边形中存在一个区域使得在区域中可以看到多边形中任意位置（反之亦然），则这个区域就是多边形的核

求半平面交

• 理论上有很多很多种求法，但是在实际应用中效率最高而且最好写的是 S&I 增量法，也就是一个一个插入半平面并且更新答案。
• 核心思想：
• 1. 选取逆时针方向为正方向，把所有的直线变成向量。
• 2. 所有的向量按照极角排序，角度相同的保留左边的。
• 3. 按照顺序每次插入一个平面，删掉右面的部分，保留左边的部分。
###具体方法：
1.选方向，排序（如上文）
• 2.用双端队列保存构成当前核的所有向量。
• 3.按照顺序遍历所有向量，每次加入判断影响
• 假设队列中最后两条直线的交点是左图所示。如果新加入了直线后原来的交点在直线右侧，说明最后一条直线没有用，把它从队列中删除。

在这里插入图片描述
看遍边6要不要保留，就看5和6的交点在直线的哪一侧