[CF850F] Rainbow Balls

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题目描述

给定 $n$ 种颜色的球，每种球有 $a_i$ 个，对这些球执行以下操作：

有顺序地任意取两个球，将第二个球涂上第一个球的颜色，重复该操作至所有球颜色相同。

求期望操作次数，对 $10^9+7$ 取模。
数据范围： $n≤2500n\le 2500$ ， $1≤ai≤1051\le a_i\le 10^5$ 。

Solution

设 $f_i$ 表示当前有 $i$ 个球，将所有球变为该颜色的期望次数， $s$ 表示球的总数， $p$ 表示当前取出的两个球第一个与最终颜色相同，第二个与最终颜色不同的概率。
根据题意，有 $p=i×(s−i)s×(s−1)p=\frac{i\times(s-i)}{s\times(s-1)}$ $fi=p×fi−1+p×fi+1+(1−2p)×fi+vf_i=p\times f_{i-1}+p\times f_{i+1}+(1-2p)\times f_i+v$ 其中 $v$ 为这一步操作对最终答案的贡献，也就是该颜色成为最终颜色的概率。
设 $g_i$ 表示当前颜色成为最终颜色的概率，有 $g_0=0$ ， $g_1=1$ ，且 $gi=p×gi−1+p×gi+1+(1−2p)×gig_{i}=p\times g_{i-1}+p\times g_{i+1}+(1-2p)\times g_i$ 。
转化可得 $g_i-g_{i-1}=g_{i+1}-g_{i}$ ，等差数列求和可得 $gi=isg_i=\frac{i}{s}$ ，即 $v=isv=\frac{i}{s}$ 。
那么现在有 $fi=p×fi−1+p×fi+1+(1−2p)×fi+isf_i=p\times f_{i-1}+p\times f_{i+1}+(1-2p)\times f_i+\frac{i}{s}$ 转化后有 $fi−fi+1=fi−1−fi+s−1s−if_{i}-f_{i+1}=f_{i-1}-f_{i}+\frac{s-1}{s-i}$
考虑求 $f_1$ 和 $f_2$ 后线性递推，由于 $f_0$ 不存在，代入后有 $f_2=2f_1-1$ 。
$f1=f1−fs=∑i=2sfi−1−fi=(s−1)×(f1−f2)+∑i=2s−1s−1s−i×(s−i)=(s−1)×(1−f1)+(s−1)×(s−2)\begin{aligned}f_1&=f_1-f_s\\ &=\sum_{i=2}^{s}{f_{i-1}-f_{i}}\\ &=(s-1)\times(f_1-f_2)+\sum_{i=2}^{s-1}{\frac{s-1}{s-i}\times(s-i)}\\&=(s-1)\times(1-f_1)+(s-1)\times(s-2)\end{aligned}$
所以 $f1=(s−1)2sf_1=\frac{(s-1)^2}{s}$ 线性递推即可求解，答案为 $∑i=1nfai\sum_{i=1}^{n}{f_{a_{i}}}$ 。

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=100010,MLY=1000000007;
int f[maxn],n,a[maxn],s,ans;
inline int power(int a,int b){int ans=1;while(b){if(b&1)ans=1ll*ans*a%MLY;a=1ll*a*a%MLY;b>>=1;}return ans;
}
int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]),s+=a[i];f[1]=(s-1ll)*(s-1)%MLY*power(s,MLY-2)%MLY;f[2]=(2ll*f[1]-1+MLY)%MLY;for(int i=2;i<100000;++i)f[i+1]=((2ll*f[i]-f[i-1]-(s-1ll)*power(s-i,MLY-2))%MLY+MLY)%MLY;for(int i=1;i<=n;++i)ans=(ans+f[a[i]])%MLY;printf("%d",ans);return 0;
}