正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6846

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题目大意

给出$n$个点$m$条边的一张有向图，保证两个点之间最多只有一条边。现在你可以取反一些边使得图变为一张$DAG$，求所有方案的取反的边数和。

$1\le n\le 18$

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解题思路

考虑到对于一种方案取反所有边就是另一种方案，所以每种方案的取反边数的平均值肯定是$\frac{m}{2}$，所以我们只需要统计方案数就好了。

然后再考虑$dp$，朴素的做法是$O(3^n)$的，记$G_S$表示集合$S$是否是独立集那么有
$$F_S=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}{F}_{S-T}{G}_T$$
然后化成集合幂级数的形式就是
$$F=FG+1\Rightarrow F=\frac{1}{1-G}$$

至于集合幂级数怎么求逆，定义占位多项式
$$G_{S,i}^{\prime }=\sum _{S=0}^n[count(S)=i]G_S$$
然后对于每个$G_S$视为一个多项式求逆。

然后求逆可以用$O(n^2)$的反正$n$很小。

对于$a$求逆，首先有$a^{-1}[x_0]=\frac{1}{a[x_0]}$，然后有
$$\sum _{i=0}^{n}a[x^i]a^{-1}[x^{n-i}]=0\Rightarrow a^{-1}[x^n]=\frac{{\sum }_{i=0}^{n-1}{a}^{-1}[x^i]a[x^{n-i}]}{a[x^0]}$$

这样就可以$O(n^2)$递推了。

时间复杂度：$O(2^n{n}^2)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=18,P=998244353;
ll n,m,MS,c[1<<N],g[1<<N],F[N+1][1<<N],G[N+1],H[1<<N];
void FWT(ll *f,ll op){for(ll p=2;p<=MS;p<<=1)for(ll k=0,len=p>>1;k<MS;k+=p)for(ll i=k;i<k+len;i++)(f[i+len]+=f[i]*op+P)%=P;return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1,x,y;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);x--;y--;g[(1<<x)|(1<<y)]=1;}MS=(1<<n);for(ll i=0;i<n;i++)for(ll s=0;s<MS;s++)if(!((s>>i)&1))g[s^(1<<i)]|=g[s];for(ll i=1;i<MS;i++){c[i]=c[i-(i&-i)]+1;if(!g[i])F[c[i]][i]=(c[i]&1)?1:(P-1);}F[0][0]=1;for(ll i=0;i<=n;i++)FWT(F[i],1);for(ll s=0;s<MS;s++){for(ll i=0;i<=n;i++)F[i][s]=P-F[i][s];G[0]=1;for(ll i=1;i<=n;i++){G[i]=0;for(ll j=1;j<=i;j++)(G[i]+=P-G[i-j]*F[j][s]%P)%=P;}H[s]=G[n];
//		printf("%lld ",G[n]);}FWT(H,-1);printf("%lld\n",(P+1)/2*H[MS-1]%P*m%P);return 0;
}