1022. 宠物小精灵之收服

题意：

现在有n个胶囊，m个生命值，k个怪物，每个怪物需要a[i]个胶囊，且会造成b[i]个伤害后才能捕获，问在活着的前提下，最多捕获多少怪物，在怪物最多的情况下剩余生命值最大是多少
数据范围：
0<N≤1000,
0<M≤500,
0<K≤100

题解：

仔细分析题目就可以得到：这个是01背包的延伸，01背包中是空间和价钱，这个是胶囊和伤害
设f[i][j]表示刚好花费i个胶囊，j个生命值所捕获的怪物最大数量
注意f一开始要初始无限大
可以得到转移方程：
（01背包的延伸）

f[0][0] = 0;for(int i = 1; i <= K; i++) {for(int j = n; j >= w[i]; j--) for(int k = m; k >= v[i]; k--)f[j][k] = max(f[j][k], f[j - w[i]][k - v[i]] + 1);}

然后我们根据最大胶囊的情况选择花费最少的体力值，即为剩下最多的体力值
这样复杂度是O(nmk)
详细看代码：
但是本题可以优化：
我们先想想01背包：
体积w与价值v是可以互逆的
什么意思？
f[i]表示为体积为i能装的最大价值
我们也可以将f[i]表示为价值为i所需的最小体积
两者等价，但是我们只需要选择较小的那个就行
这样可以优化时间复杂度
在本题中，k的范围是额外小的，所以我们设
dp[i][j]表示正好花费体力i，收集j个怪物所用最小的精灵球的数量
这样复杂度是O(K²m)
结合数据范围：
O(nmk) = 5e7
O(K²m) = 5e6
本题是都能过，但是这种方法要掌握
（图中分别是第二种方法和第一种方法）

代码：

第一个代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1005, M = 505, S = 105;
int n, m, K, w[S], v[S], f[N][M];
int main() {memset(f, 0xcf, sizeof f);scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);for(int i = 1; i <= K; i++)scanf("%d%d", w + i, v + i);f[0][0] = 0;for(int i = 1; i <= K; i++) {for(int j = n; j >= w[i]; j--) for(int k = m; k >= v[i]; k--)f[j][k] = max(f[j][k], f[j - w[i]][k - v[i]] + 1);}//cout<<f[0][0]<<endl;int res = 0, t=0;for(int j = 1; j <= n; j++) {for(int k = 1; k < m; k++) {if(f[j][k] > res || (res == f[j][k] && k < t)) {res = f[j][k], t = k;}}}printf("%d %d\n", res ,m - t);return 0;
}

优化后的代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1005, M = 505, S = 105;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, K, f[M][S];
/*
f[i][j] 表示体力为 i, 收集了 j 个精灵 用的最小的精灵球数量
*/
int main() {memset(f, 0x3f, sizeof f);scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);f[0][0] = 0;for (int i = 1, c, d; i <= K; i++) {scanf("%d%d", &c, &d);for (int j = m; j >= d; j--)for (int k = K; k >= 1; k--)if(f[j - d][k - 1] + c <= n)f[j][k] = min(f[j][k], f[j - d][k - 1] + c);}for (int k = K; ~k; k--) {int  p = INF;for (int j = 0; j < m; j++) {if(f[j][k] != INF && j < p) p = j;}if(p != INF)  { printf("%d %d\n", k, m - p); return 0; }}return 0;
}