正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1553H

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题目大意

给出$n$个在$[0,2^n)$范围内的数字序列$a$。

对于每个$x\in [0,2^n)$求
$$\underset{i\ne j}{\min }|a_{i}xorx-a_{j}xorx|$$

$2\le n\le 2^k,1\le k\le 19$

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解题思路

一个很妙的想法，考虑一个数字$a$与$x$有最多只有前$d$位不同的情况，记答案为$f_{x,d}$。

考虑这个答案的性质，对于$x$找一个一个与它恰好第$d$位不同的$y$考虑转移，首先显然是从min{fx,d−1,fy,d−1}min\{f_{x,d-1},f_{y,d-1}\}min{fx,d−1​,fy,d−1​}处进行一个转移（因为只多了第$d$位可以不同，而此时这两种转移就包括了两个点集内的情况）。

但是还有一种转移有可能是在$x$的集合和$y$的集合中各自选一个数字，我们可以各自找到两个分别在$x/y$的集合中的数字$a_{i}xorx$最大并且$a_{j}xory$最小转移到$x$即可。

考虑如何快速找这两个数字，设$m{x}_{x,d},m{i}_{x,d}$表示上述所示情况下$xxora$的最大值/最小值，这两个的转移十分显然。
mxx,d=max{mxx,d−1,mxy,d−1+2d}mx_{x,d}=max\{mx_{x,d-1},mx_{y,d-1}+2^d\}mxx,d​=max{mxx,d−1​,mxy,d−1​+2d}
mix,d=min{mix,d−1,miy,d−1+2d}mi_{x,d}=min\{mi_{x,d-1},mi_{y,d-1}+2^d\}mix,d​=min{mix,d−1​,miy,d−1​+2d}

时间复杂度：$O(2^{k}k)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1<<19;
int n,k,mx[N],mi[N],f[N];
int main()
{scanf("%d%d",&n,&k);memset(mx,0xcf,sizeof(mx));memset(mi,0x3f,sizeof(mi));memset(f,0x3f,sizeof(f));for(int i=1,x;i<=n;i++){scanf("%d",&x);mx[x]=mi[x]=0;}int MS=(1<<k);for(int i=0;i<k;i++){for(int s=MS-1;s>=0;s--)if((s>>i)&1){int t=s^(1<<i);f[s]=f[t]=min(f[s],f[t]);f[s]=min(f[s],mi[t]+(1<<i)-mx[s]);f[t]=min(f[t],mi[s]+(1<<i)-mx[t]);int mxt=mx[t],mit=mi[t];int mxs=mx[s],mis=mi[s];mx[s]=max(mx[s],mxt+(1<<i));mi[s]=min(mi[s],mit+(1<<i));mx[t]=max(mx[t],mxs+(1<<i));mi[t]=min(mi[t],mis+(1<<i));}}for(int i=0;i<MS;i++)printf("%d ",f[i]);return 0;
}