同余最短路

主要内容

形如：

• 设问 \(1\) ：给定 \(n\) 个整数，求这 \(n\) 个整数在 \(h(h\le2^{63}-1)\) 范围内 能拼凑出多少的其他整数( 个整数可以重复取) 。

• 设问 \(2\) ：给定 \(n\) 个整数，求这 \(n\) 个整数 不能拼凑出的最小(最大)的整数 。

的问题可以使用 同余最短路 的方法 。

同余最短路利用同余来构造一些状态，可以达到 优化空间复杂度 的目的。

解决方案

设 \(x\) 为 \(n\) 个数中最小的一个，令 \(ds[i]\) 为只通过增加其他 \(n-1\) 种数能够达到的最低楼层 \(p\) ，并且满足 \(p\equiv i\pmod{x}\) 。

对于 \(n-1\) 个数与 \(x\) 个 \(ds[i]\) ，可以如下连边：

for(int i=0;i<x;i++) for(int j=2;j<=n;j++) add(i,(i+a[j])%x,a[j]);

之后进行最短路 ，对于 ：

• 设问 \(1\) ：( 如 P3403 跳楼机 、P2371 [国家集训队]墨墨的等式 ) 答案为：(加一因为 \(i\) 本身也要计算)

\[\sum_{i=0}^{x-1}{[d[i]\le h]\times\dfrac{h-d[i]}{x}+1} \]

• 设问 \(2\) ：( 如 P2662 牛场围栏 ) 答案为：( \(i\) 一定时最小表示的数为 \(d[i]=s\times x+i\) ，则 \((s-1)\times x+i\) 一定不能 被表示出来 )

\[\min_{i=1}^{x-1}{\{d[i]-x\}} \]

注意：\(ds\) 与 \(h\) 范围相同，一般也要开 \(\operatorname{long}~\operatorname{long}\) !