正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/24346/L

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题目大意

有一张$2n$个点的完全图，在上面删除一棵生成树，然后求这张图的完全匹配方案数。

$1\le n\le 2000$

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解题思路

考虑容斥，可以$dp$出$f_{i,j,0/1}$表示$i$的子树中有$j$条边必须匹配，当前点有/没有匹配的方案，这个可以通过枚举子树大小做到$O(n^2)$

然后除了已经匹配的点，剩下的点可以任意匹配，考虑$2n$个点的完全图的匹配方案，我们可以先选出$n$个点放在左边，然后剩下的任意匹配，但是注意到会重复，每一边都可以选择交换，所以会被算重$2^n$次，所以方案就是
$$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\times n!}{2^n}$$

然后如果指定了$k$条边必选那么容斥系数就是$(-1{)}^k$就好了。

时间复杂度：$O(n^2)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4100,P=998244353;
struct node{ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,tot,ls[N],fac[N],inv[N],pw[N];
ll f[N][N/2][2],g[N/2][2],siz[N],ans;
void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll fa){siz[x]=1;f[x][0][0]=1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);for(ll j=0;j<=(siz[x]+siz[y])/2;j++)g[j][0]=g[j][1]=0;for(ll j=0;j<=siz[x]/2;j++)for(ll k=0;k<=siz[y]/2;k++){(g[j+k][0]+=f[x][j][0]*(f[y][k][0]+f[y][k][1])%P)%=P;(g[j+k][1]+=f[x][j][1]*(f[y][k][0]+f[y][k][1])%P)%=P;(g[j+k+1][1]+=f[x][j][0]*f[y][k][0]%P)%=P;}siz[x]+=siz[y];for(ll j=0;j<=siz[x]/2;j++)f[x][j][0]=g[j][0],f[x][j][1]=g[j][1];}return;
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
ll Mac(ll n)
{return C(n*2,n)*fac[n]%P*pw[n]%P;}
signed main()
{scanf("%lld",&n);n=n*2;fac[0]=inv[0]=inv[1]=pw[0]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;for(ll i=1;i<N;i++)pw[i]=pw[i-1]*inv[2]%P;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;for(ll i=1;i<n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}dfs(1,0);for(ll i=0;i<=n/2;i++){ll w=(f[1][i][0]+f[1][i][1])%P;w=w*Mac(n/2-i)%P;(ans+=(i&1)?(P-w):w)%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}