正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF446D

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题目大意

给出$n$个点$m$条边的一张无向图，一些点有陷阱，走到时会损失一条生命，总共有$k$条生命，求从$1$出发随机游走到$n$没有死亡且到终点时仅剩一条命的概率。

$1\le n\le 500,1\le m\le 10^5,2\le k\le 10^9$

陷阱点个数不超过$100$。

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解题思路

这个$k$很大，这个陷阱点个数又很少，我们可以考虑矩阵乘法，预处理$a_{i,j}$表示陷阱点$i$走到陷阱点$j$且中间没有走陷阱点的概率，然后矩阵乘法转移即可。

但是现在的问题是我们如何快速预处理出$a_{i,j}$，可以考虑枚举终点$x$那么有$f_x=1$，然后其他的陷阱点处$f_x=0$，一般的点处$f_x=\frac{1}{de{g}_x}{\sum }_{x\to y}{f}_y$，这样我们就能对于每个起点预处理出$g_{i,j}$表示从无陷阱的节点$i$走到陷阱点$j$且中间没有其他陷阱点的概率。

之后我们枚举起点陷阱点的出边就可以预处理出$a$了，因为上面的过程要用到高斯消元，所以这样的复杂度是$O(n^4)$的，无法通过本题。

不难注意到上面的消元中，我们只有陷阱点处的常数（且陷阱点处仅有常数）发生了变化，所以我们可以直接高斯消出每个非陷阱点和所有陷阱点的关系式，然后直接带入常数即可。

记陷阱点个数为$r$，时间复杂度$O((n+r{)}^3+r^3\log k)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=610,S=110;
const double eps=1e-8;
struct matrix{double a[S][S];
}ans,m,c;
matrix operator*(const matrix &a,const matrix &b){memset(c.a,0,sizeof(c.a));for(int i=0;i<S;i++)for(int j=0;j<S;j++)for(int k=0;k<S;k++)c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];return c;
}
int n,h,k,deg[N],a[N][N];
double f[N][N];bool v[N];
vector<int> q;
int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&h,&k);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&v[i]);if(v[i]){q.push_back(i);f[i][n+q.size()]=f[i][i]=1;}}int r=n+q.size();for(int i=1,x,y;i<=h;i++){scanf("%d%d",&x,&y);a[x][y]++;a[y][x]++;deg[x]++;deg[y]++;}for(int i=1;i<=n;i++){if(v[i])continue;for(int j=1;j<=n;j++)f[i][j]=-1.0*a[i][j]/(double)deg[i];f[i][i]=1;}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i;j<=n;j++)if(fabs(f[i][j])>eps){swap(f[i],f[j]);break;}double d=f[i][i];for(int j=i;j<=r;j++)f[i][j]=f[i][j]/d;for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j)continue;double rate=-f[j][i]/f[i][i];for(int k=i;k<=r;k++)f[j][k]+=rate*f[i][k];}}for(int i=0;i<q.size();i++)ans.a[0][i]=f[1][n+i+1];for(int i=0;i<q.size();i++){for(int j=0;j<q.size();j++){for(int k=1;k<=n;k++)m.a[i][j]+=a[q[i]][k]*f[k][n+j+1];m.a[i][j]/=(double)deg[q[i]];}}k-=2;while(k){if(k&1)ans=ans*m;m=m*m;k>>=1;}printf("%.10lf\n",ans.a[0][q.size()-1]);return 0;
}