正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6478

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题目大意

给出$2m$个点的一棵树，有$m$个白点$m$个黑点。

每个白点匹配一个黑点。

对于每个$k\in [0,m]$求恰好有$k$个匹配存在祖孙关系的方案。

答案对$998244353$取模。

$1\le n\le 5000$

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解题思路

先考虑一个基础的树形$dp$，设$f_{x,i}$表示$x$的子树中已经选出了$i$对有祖孙关系的匹配的方案。

这个$dp$我们可以通过枚举子树大小的方式做到$O(n^2)$转移。

假设$g_i$表示恰好有$i$个祖孙关系的方案，那么我们就有（以下的$f_i$都表示$f_{1,i}$）
$$(n-i)!f_i=\sum _{j=i}^m{g}_j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i}\right)$$
然后二项式反演就是
$$g_i=\sum _{j=i}^m(-1{)}^{j-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})(n-j)!f_j$$

时间复杂度：$O(n^2)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5100,P=998244353;
struct node{ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,tot,ls[N],f[N][N/2],g[N/2],h[N],s0[N],s1[N],fac[N],inv[N];
char s[N];
void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(ll x,ll fa){f[x][0]=1;for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);for(ll j=0;j<=min(s0[x],s1[x]);j++)for(ll k=0;k<=min(s0[y],s1[y]);k++)(g[j+k]+=f[x][j]*f[y][k]%P)%=P;s0[x]+=s0[y];s1[x]+=s1[y];for(ll j=0;j<=min(s0[x],s1[x]);j++)f[x][j]=g[j],g[j]=0;}if(s[x]=='0'){s0[x]++;for(ll i=min(s0[x],s1[x]);i>=0;i--)(f[x][i+1]+=f[x][i]*(s1[x]-i))%=P;}else{s1[x]++;for(ll i=min(s0[x],s1[x]);i>=0;i--)(f[x][i+1]+=f[x][i]*(s0[x]-i))%=P;}return;
}
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
signed main()
{fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;scanf("%lld",&n);scanf("%s",s+1);for(ll i=1,x,y;i<n;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}dfs(1,0);ll m=n>>1;for(ll i=0;i<=m;i++)h[i]=f[1][i]*fac[m-i]%P;for(ll i=0;i<=m;i++){
//		h[i]=f[1][i]*fac[m-i]%P;for(ll j=i+1;j<=m;j++)(h[i]+=h[j]*C(j,i)*(((j-i)&1)?(-1):1)%P)%=P;
//		h[i]=h[i]*fac[m-i]%P;}
//	for(ll i=0;i<=m;i++)
//		h[i]=(h[i]-h[i+1]+P)%P;for(ll i=0;i<=m;i++)printf("%lld\n",(h[i]+P)%P);return 0;
}