正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7293

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题目大意

有$k$张联通无向图，有$k$个人从每张图的点$1$出发，定义所有人的位置合为一个状态，求初始状态到达所有能到达状态的最短时间的和。

输出答案对 $10^9+7$ 取模。

$\sum n\le 10^5,\sum m\le 2\times 10^5$

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解题思路

因为可以反复横跳，对于每个点我们求出到达的最短的奇数/偶数距离，记为$dis1/dis2$。

那么对于一个状态$(i_1,i_2,...,i_n)$答案就是
min⁡{max⁡{dis1ij},max⁡{dis2i,j}}\min\{\ \max\{dis1_{i_j}\},\max\{dis2_{i,j}\}\ \}min{ max{dis1ij​​},max{dis2i,j​} }

然后这个又有$\min$又有$\max$的很难搞，但是我们有一个式子a+b=max⁡{a,b}+min⁡{a,b}a+b=\max\{a,b\}+\min\{a,b\}a+b=max{a,b}+min{a,b}（好像很废话），然后就有min⁡{a,b}=a+b−max⁡{a,b}\min\{a,b\}=a+b-\max\{a,b\}min{a,b}=a+b−max{a,b}，这样就把$\max$消掉了。

那么答案有
max⁡{dis1ij}+max⁡{dis2ij}−max⁡{dis1ij,dis2ij}\max\{dis1_{i_j}\}+\max\{dis2_{i_j}\}-\max\{dis1_{i_j},dis2_{i_j}\}max{dis1ij​​}+max{dis2ij​​}−max{dis1ij​​,dis2ij​​}

然后跑出$dis1,dis2$排个序就很好统计了。

注意不能统计上无法达到的状态。

时间复杂度：$O(N\log N+M)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=1e9+7;
struct node{ll to,next;
}a[N<<2];
ll k,n,m,ans,tot,ls[N],c[N],dis[N];
vector<pair<ll,ll> >b[3];
queue<ll> q;
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void addl(ll x,ll y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void bfs(){q.push(1);dis[1]=1;while(!q.empty()){ll x=q.front();q.pop();for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){ll y=a[i].to;if(dis[y]<=dis[x]+1)continue;dis[y]=dis[x]+1;q.push(y);}}return;
}
void calc(ll id,ll op){ll res=0,now=0;memset(c,0,sizeof(c));for(ll i=0;i<b[id].size();i++){ll d=b[id][i].first,p=b[id][i].second;if(d+1>=dis[0])break;now+=!c[p];c[p]++;ll invn=power(c[p],P-2);if(now==k){res=1;for(int i=1;i<=k;i++)res=res*c[i]%P;}res=res*invn%P;(ans+=res*d*op%P)%=P;res=res*c[p]%P;}return;
}
signed main()
{scanf("%lld",&k);for(ll i=0;i<N;i++)dis[i]=2147483647;for(ll p=1;p<=k;p++){scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1,x,y;i<=m;i++){scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y+n);addl(x+n,y);addl(y,x+n);addl(y+n,x);}bfs();for(ll i=1;i<=n;i++){b[0].push_back(mp(dis[i]-1,p));b[1].push_back(mp(dis[i+n]-1,p));b[2].push_back(mp(max(dis[i],dis[i+n])-1,p));}for(ll i=1;i<=2*n;i++)ls[i]=0,dis[i]=dis[0];tot=0;}sort(b[0].begin(),b[0].end());sort(b[1].begin(),b[1].end());sort(b[2].begin(),b[2].end());calc(0,1);calc(1,1);calc(2,-1);printf("%lld\n",(ans+P)%P);return 0;
}