文章目录
- 后缀自动机
- 算法实现过程
- 模板
- 习题
- 洛谷后缀自动机模板题
- 品酒大会
- [HEOI2015]最短不公共子串
- 字符串
蒟蒻写这篇blogblogblog主要是存一下，后缀自动机的详细搭建过程，方便以后复习
具体的某些证明，为什么这么做，正确性劈里啪啦一大堆就不赘述了讲解指路☞
后缀自动机
后缀自动机上每一条到iii的路径对应一个子串，整个自动机包含了字符串的所有子串
很多时候可以和后缀数组等价使用
endposendposendpos：一个子串iii在整个字符串中出现的位置 最后一个字符的下标 构成的集合
举个栗子 abcbcdeabcabcbcdeabcabcbcdeabc，(从000开始标号)
子串abcabcabc对应的endposendposendpos为{2,9}\{2,9\}{2,9}，子串bcbcbc的endposendposendpos为{2,4,9}\{2,4,9\}{2,4,9}
后缀自动机的编号对应的就是endposendposendpos完全相同的所有子串
依旧是上面的粒子abcbcdeabcabcbcdeabcabcbcdeabc
子串bcbcbc的endposendposendpos为{2,4,9}\{2,4,9\}{2,4,9}，子串ccc的endposendposendpos也为{2,4,9}\{2,4,9\}{2,4,9}
那么后缀自动机上对应的ididid编号既表示bcbcbc子串，也表示ccc子串
算法实现过程
- e.g.1e.g.1e.g.1，构建abcdabcdabcd的后缀自动机
Ⅰ最初始状态，仅有一个空根，last=1last=1last=1，lastlastlast表示后缀自动机的最后一个节点
Ⅱ 将′a′'a'′a′扔进去，新建一个节点cnt=2cnt=2cnt=2，len=len[last]+1=1len=len[last]+1=1len=len[last]+1=1
从lastlastlast开始跳，发现111没有′a′'a'′a′边
则建立一条′a′'a'′a′边，并指向新点222
此时跳到了初始源点，222的后缀链接只能指向111，lastlastlast变为222
Ⅲ 将′b′'b'′b′扔进去，新建一个节点cnt=3,len=len[last]+1=2cnt=3,len=len[last]+1=2cnt=3,len=len[last]+1=2
从lastlastlast开始跳后缀链接
222没有′b′'b'′b′边，新建一条并指向333，跳后缀链接到111
111没有′b′'b'′b′边，新建一条并指向333
此时已经到了根节点，333的后缀链接只能指向111，last=3last=3last=3
Ⅳ 将′c′'c'′c′扔进去，新建一个节点cnt=4,len=3cnt=4,len=3cnt=4,len=3
从lastlastlast开始跳后缀链接
333没有′c′'c'′c′边，新建一条并指向444，跳后缀链接到111
111没有′c′'c'′c′边，新建一条并指向444
此时已经到了根节点，444的后缀链接只能指向111，last=4last=4last=4
Ⅴ 将′d′'d'′d′扔进去，新建一个节点cnt=5,len=4cnt=5,len=4cnt=5,len=4
从lastlastlast开始跳后缀链接
444没有′c′'c'′c′边，新建一条并指向555，跳后缀链接到111
111没有′c′'c'′c′边，新建一条并指向555
此时已经到了根节点，555的后缀链接只能指向111，last=5last=5last=5
最简单的一种后缀自动机就完成了
接下来就尝试一下进阶版
- e.g.2e.g.2e.g.2，构建ababeababeababe的后缀自动机
Ⅰ先搭建空源点，last=1last=1last=1
Ⅱ 加入′a′'a'′a′，新建一个节点cnt=2,len[2]=len[last]+1=1cnt=2,len[2]=len[last]+1=1cnt=2,len[2]=len[last]+1=1
111没有′c′'c'′c′边，新建一条并指向222，
此时已经到了根节点，222的后缀链接只能指向111，last=2last=2last=2
Ⅲ 加入′b′'b'′b′，新建一个节点cnt=3,len[3]=len[last]+1=2cnt=3,len[3]=len[last]+1=2cnt=3,len[3]=len[last]+1=2
从lastlastlast开始跳后缀链接
222没有′b′'b'′b′边，新建一条并指向333，跳后缀链接到111
111没有′b′'b'′b′边，新建一条并指向333
此时已经到了根节点，333的后缀链接只能指向111，last=3last=3last=3
Ⅳ 再加入′a′'a'′a′，新建一个节点cnt=4,len[4]=len[last]+1=3cnt=4,len[4]=len[last]+1=3cnt=4,len[4]=len[last]+1=3
从lastlastlast开始跳后缀链接
333没有′a′'a'′a′边，新建一条并指向444，跳后缀链接到111
111有一条指向222的′a′'a'′a′边，满足len[2]=len[1]+1len[2]=len[1]+1len[2]=len[1]+1，则直接将444后缀链接指向222
结束，last=4last=4last=4
Ⅴ 再加入′b′'b'′b′，新建一个节点cnt=5,len[5]=len[last]+1=4cnt=5,len[5]=len[last]+1=4cnt=5,len[5]=len[last]+1=4
从lastlastlast开始跳后缀链接
444没有′b′'b'′b′边，新建一条并指向555，跳后缀链接到222
222有一条指向333的′b′'b'′b′边，满足len[3]=len[2]+1len[3]=len[2]+1len[3]=len[2]+1，直接将555后缀链接指向333
结束，last=5last=5last=5
Ⅵ 加入新′c′'c'′c′，新建一个节点cnt=6,len[6]=len[last]+1=5cnt=6,len[6]=len[last]+1=5cnt=6,len[6]=len[last]+1=5
从lastlastlast开始跳后缀链接
555没有′c′'c'′c′边，新建一条并指向666，跳后缀链接到333
333没有′c′'c'′c′边，新建一条并指向666，跳后缀链接到111
111没有′c′'c'′c′边，新建一条并指向666
此时已到根节点，666只能链接111，last=6last=6last=6结束
这就是进阶版了，没有涉及到最终版的点复制
最后让我们一起携手走进最终版的后缀自动机构造
- e.g.3e.g.3e.g.3，构建cababcababcabab的后缀自动机
Ⅰ 创造新源点，last=1,cnt=1last=1,cnt=1last=1,cnt=1
Ⅱ 加入′c′'c'′c′，新建一个节点cnt=2,len[2]=len[last]+1=1cnt=2,len[2]=len[last]+1=1cnt=2,len[2]=len[last]+1=1
从lastlastlast开始跳后缀链接
111没有′c′'c'′c′边，新建一条并指向222
此时已到根节点，222只能链接1,last=21,last=21,last=2
Ⅲ 加入′a′'a'′a′，新建一个节点cnt=3,len[3]=len[last]+1=2cnt=3,len[3]=len[last]+1=2cnt=3,len[3]=len[last]+1=2
从lastlastlast开始跳后缀链接
222没有′a′'a'′a′边，新建一条并指向333，跳后缀链接到111
111没有′a′'a'′a′边，新建一条并指向333
此时已到根节点，333只能链接1,last=31,last=31,last=3
Ⅳ 加入′b′'b'′b′，新建一个节点cnt=4,len[4]=len[last]+1=3cnt=4,len[4]=len[last]+1=3cnt=4,len[4]=len[last]+1=3
从lastlastlast开始跳后缀链接
333没有′b′'b'′b′边，新建一条并指向444，跳后缀链接到111
111没有′a′'a'′a′边，新建一条并指向444
此时已到根节点，444只能链接1,last=41,last=41,last=4
Ⅴ 加入′a′'a'′a′，新建一个节点cnt=5,len[5]=len[last]+1=4cnt=5,len[5]=len[last]+1=4cnt=5,len[5]=len[last]+1=4
从lastlastlast开始跳后缀链接
444没有′a′'a'′a′边，新建一条并指向555，跳后缀链接到111
111有′a′'a'′a′边，指向333，但是！！！len[3]≠len[1]+1len[3]≠len[1]+1len[3]=len[1]+1，不能像进阶版直接链接，这里必须要点复制
新建一个333的分身节点cnt=6cnt=6cnt=6
333的所有信息（出入边）除了原字符串间的边（图中黑色边）全部修改为分点666的边，直接覆盖
并且666成为333的直接后缀链接，替代111
len[6]=len[1]+1=1len[6]=len[1]+1=1len[6]=len[1]+1=1
相当于666做了1,31,31,3后缀链之间的承接点，保证了每一条边上lenlenlen只会带来+1+1+1的影响
555直接链接666后结束，last=5last=5last=5
Ⅵ 加入′b′'b'′b′，新建节点cnt=7cnt=7cnt=7
从lastlastlast开始跳后缀链接
555没有′b′'b'′b′边，新建一条指向777，跳后缀链接到666
666有一条′b′'b'′b′边，指向444，判断len[4]≠len[6]+1len[4]≠len[6]+1len[4]=len[6]+1
再次执行复制操作
新建一个444的分身节点cnt=8cnt=8cnt=8
444的所有信息（出入边）除了原字符串间的边（图中黑色边）全部修改为分点888的边，直接进行覆盖
888成为444的直接后缀链接，len[8]=len[6]+1=2len[8]=len[6]+1=2len[8]=len[6]+1=2
777直接链接888后结束，last=7last=7last=7
⚡
len[x]len[x]len[x]复制点的lenlenlen不等于被复制点的原后缀链接的len+1len+1len+1，而是谁触发的len+1len+1len+1
模板
struct node {int len; //长度int fa; //后缀链接int son[maxc]; //字符集大小
}t[maxn];
模拟从主链的前一个开始跳后缀链接，并对于链接上的没有该字符边的每一个点都连出一条新字符边
while( pre && ! t[pre].son[c] ) t[pre].son[c] = now, pre = t[pre].fa;
跳到根，代表这是首个出现的字符，他只能链接最初的根节点了
if( ! pre ) t[now].fa = 1;
否则，如果路上找到了，满足lenlenlen的关系，直接后缀链接指过去即可
int u = t[pre].son[c];
if( t[u].len == t[pre].len + 1 ) t[now].fa = u;
复制该点，并进行有关该点的所有信息重改
①原点连出的点，新点也要连出
②连入原点的点，变成连入新点
③原点和新点间也需建立联系，新点是原点的后缀链接
else {int v = ++ tot;t[v] = t[u];//利用结构体巧妙将原点连出的点进行复制t[v].len = t[pre].len + 1;//由谁触发 len就是触发点len+1t[u].fa = t[now].fa = v;//原点与复制点与新建点的关系while( pre && t[pre].son[c] == u ) t[pre].son[c] = v, pre = t[pre].fa;//暴力复制修改连入原点的点
}
习题
洛谷后缀自动机模板题
- code
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxn 2000005
vector < int > G[maxn];
struct node {int fa, len;int son[30];
}t[maxn];
char s[maxn];
int last = 1, tot = 1;
long long ans;
int siz[maxn];void insert( int c ) {int pre = last, now = last = ++ tot;siz[tot] = 1;t[now].len = t[pre].len + 1;while( pre && ! t[pre].son[c] ) t[pre].son[c] = now, pre = t[pre].fa;if( ! pre ) t[now].fa = 1;else {int u = t[pre].son[c];if( t[u].len == t[pre].len + 1 ) t[now].fa = u;else {int v = ++ tot;t[v] = t[u];t[v].len = t[pre].len + 1;t[u].fa = t[now].fa = v;while( pre && t[pre].son[c] == u ) t[pre].son[c] = v, pre = t[pre].fa;}}
}void dfs( int u ) {for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i];dfs( v );siz[u] += siz[v];}if( siz[u] != 1 ) ans = max( ans, 1ll * siz[u] * t[u].len );
}int main() {scanf( "%s", s );int len = strlen( s );for( int i = 0;i < len;i ++ ) insert( s[i] - 'a' ); for( int i = 2;i <= tot;i ++ ) G[t[i].fa].push_back( i );dfs( 1 );printf( "%lld", ans );return 0;
}
品酒大会
- solution
有一个SAMSAMSAM常用结论：前缀i,ji,ji,j的最长公共后缀=parenttree=parent\ tree=parent tree上前缀i,ji,ji,j分别指向的点u,vu,vu,v的lcalcalca反映在后缀自动机上的节点代表的最长子串
将本题的字符串倒过来建后缀自动机，在自动机上进行树上dpdpdp，最后从后往前进行更新即可 - code
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define inf 0x7f7f7f7f
#define int long long
#define maxn 600005
struct node {int len, fa;int son[30];
}t[maxn];
vector < int > G[maxn];
int last = 1, cnt = 1, n;
char s[maxn];
int a[maxn], f[maxn], tot[maxn], siz[maxn], maxx[maxn], minn[maxn];void insert( int x, int w ) {int pre = last, now = last = ++ cnt;siz[now] = 1, t[now].len = t[pre].len + 1;maxx[now] = minn[now] = w;while( pre && ! t[pre].son[x] ) t[pre].son[x] = now, pre = t[pre].fa;if( ! pre ) t[now].fa = 1;else {int u = t[pre].son[x];if( t[u].len == t[pre].len + 1 ) t[now].fa = u;else {int v = ++ cnt;maxx[v] = -inf, minn[v] = inf;t[v] = t[u];t[v].len = t[pre].len + 1;t[u].fa = t[now].fa = v;while( pre && t[pre].son[x] == u ) t[pre].son[x] = v, pre = t[pre].fa;}}
}bool check( int u ) {return maxx[u] != -inf && minn[u] != inf;
}void dfs( int u ) {for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i];dfs( v );tot[t[u].len] += siz[u] * siz[v];siz[u] += siz[v];if( check( u ) )f[t[u].len] = max( f[t[u].len], max( maxx[u] * maxx[v], minn[u] * minn[v] ) );maxx[u] = max( maxx[u], maxx[v] );minn[u] = min( minn[u], minn[v] );}
}signed main() {memset( f, -0x7f, sizeof( f ) );scanf( "%d %s", &n, s + 1 );for( int i = 1;i <= n;i ++ )scanf( "%lld", &a[i] );for( int i = n;i;i -- ) insert( s[i] - 'a', a[i] ); for( int i = 2;i <= cnt;i ++ ) G[t[i].fa].push_back( i );dfs( 1 );for( int i = n - 1;~ i;i -- ) tot[i] += tot[i + 1], f[i] = max( f[i], f[i + 1] );for( int i = 0;i < n;i ++ )printf( "%lld %lld\n", tot[i], ( tot[i] ? f[i] : 0 ) );return 0;
}
[HEOI2015]最短不公共子串
- solution
做此题需要了解序列自动机
然后就是很无脑的四个bfsbfsbfs跑
子串就是跑后缀自动机
子序列就是跑序列自动机 - code
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxn 5000
char a[maxn], b[maxn];struct SAM {struct node {int len, fa;int son[30];}t[maxn];int last, cnt;SAM() {last = cnt = 1;}void insert( int x ) {int pre = last, now = last = ++ cnt;t[now].len = t[pre].len + 1;while( pre && ! t[pre].son[x] ) t[pre].son[x] = now, pre = t[pre].fa;if( ! pre ) t[now].fa = 1;else {int u = t[pre].son[x];if( t[u].len == t[pre].len + 1 ) t[now].fa = u;else {int v = ++ cnt;t[v] = t[u];t[v].len = t[pre].len + 1;t[u].fa = t[now].fa = v;while( pre && t[pre].son[x] == u ) t[pre].son[x] = v, pre = t[pre].fa;}}}}SamA, SamB;struct SEQ {int nxt[maxn][30], last[30];SEQ() {memset( nxt, 0, sizeof( nxt ) );memset( last, 0, sizeof( last ) );}void build( int n, char *s ) {for( int i = n;~ i;i -- ) {for( int j = 0;j < 26;j ++ )if( last[j] ) nxt[i + 1][j] = last[j];if( i ) last[s[i] - 'a'] = i + 1;}}}SeqA, SeqB;struct node {int x, y, dep;node(){}node( int X, int Y, int Dep ) {x = X, y = Y, dep = Dep;}
};
queue < node > q;
bool vis[maxn][maxn];void init() {memset( vis, 0, sizeof( vis ) );while( ! q.empty() ) q.pop();vis[1][1] = 1, q.push( node( 1, 1, 0 ) );
}int bfs1() {init();while( ! q.empty() ) {node now = q.front(); q.pop();for( int i = 0;i < 26;i ++ ) {int sonA = SamA.t[now.x].son[i];int sonB = SamB.t[now.y].son[i];if( vis[sonA][sonB] ) continue;else if( sonA && ! sonB ) return now.dep + 1;else if( sonA && sonB ) {vis[sonA][sonB] = 1;q.push( node( sonA, sonB, now.dep + 1 ) );}}}return -1;
}int bfs2() {init();while( ! q.empty() ) {node now = q.front(); q.pop();for( int i = 0;i < 26;i ++ ) {int sonA = SamA.t[now.x].son[i];int sonB = SeqB.nxt[now.y][i];if( vis[sonA][sonB] ) continue;else if( sonA && ! sonB ) return now.dep + 1;else if( sonA && sonB ) {vis[sonA][sonB] = 1;q.push( node( sonA, sonB, now.dep + 1 ) );}}}return -1;
}int bfs3() {init();while( ! q.empty() ) {node now = q.front(); q.pop();for( int i = 0;i < 26;i ++ ) {int sonA = SeqA.nxt[now.x][i];int sonB = SamB.t[now.y].son[i];if( vis[sonA][sonB] ) continue;else if( sonA && ! sonB ) return now.dep + 1;else if( sonA && sonB ) {vis[sonA][sonB] = 1;q.push( node( sonA, sonB, now.dep + 1 ) );}}}return -1;
}int bfs4() {init();while( ! q.empty() ) {node now = q.front(); q.pop();for( int i = 0;i < 26;i ++ ) {int sonA = SeqA.nxt[now.x][i];int sonB = SeqB.nxt[now.y][i];if( vis[sonA][sonB] ) continue;else if( sonA && ! sonB ) return now.dep + 1;else if( sonA && sonB ) {vis[sonA][sonB] = 1;q.push( node( sonA, sonB, now.dep + 1 ) );}}}return -1;
}int main() {scanf( "%s %s", a + 1, b + 1 );int lena = strlen( a + 1 ), lenb = strlen( b + 1 );for( int i = 1;i <= lena;i ++ )SamA.insert( a[i] - 'a' );for( int i = 1;i <= lenb;i ++ )SamB.insert( b[i] - 'a' );SeqA.build( lena, a );SeqB.build( lenb, b );printf( "%d\n%d\n%d\n%d\n", bfs1(), bfs2(), bfs3(), bfs4() );return 0;
}
字符串
- solution
这题运用的思想主要是广义后缀自动机，即将多个字符串建在一个后缀自动机上
其实并没有什么新颖之处，只需在扩展的时候带一个这个字符属于哪个字符串的编号即可
假设已经建好了自动机，接下来考虑两个长度为kkk的子串之间如何一一对应修改
这个时候如果将其放到parenttreeparent\ treeparent tree上考虑的话，就简单了
其实可以猜想一下，刚开始我就想到了虚树的性质，即相邻两两配对
不难证明，的确应该相邻两个不同属类的子串配对
前缀i,ji,ji,j的最长公共后缀=parenttree=parent\ tree=parent tree上前缀i,ji,ji,j分别指向的点u,vu,vu,v的lcalcalca反映在后缀自动机上的节点代表的最长子串
也就是最后变成深搜一棵树的模样，记得特判可能lcalcalca代表的最长子串长度≥k\ge k≥k
此时是不需要代价的
- code
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 600005
struct node {int len, fa;int son[30];
}t[maxn];
vector < int > G[maxn];
int n, k, last = 1, cnt = 1;
long long ans;
char a[maxn], b[maxn];
int type[maxn];
int tot[maxn][3];void insert( int x, int s, int pos ) {int pre = last, now = last = ++ cnt;t[now].len = t[pre].len + 1;while( pre && ! t[pre].son[x] ) t[pre].son[x] = now, pre = t[pre].fa;if( ! pre ) t[now].fa = 1;else {int u = t[pre].son[x]; if( t[u].len == t[pre].len + 1 ) t[now].fa = u;else {int v = ++ cnt;t[v] = t[u];t[v].len = t[pre].len + 1;t[u].fa = t[now].fa = v;while( pre && t[pre].son[x] == u ) t[pre].son[x] = v, pre = t[pre].fa;}}if( pos >= k ) type[now] = s;
}void dfs( int u ) {tot[u][type[u]] ++;for( int i = 0;i < G[u].size();i ++ ) {int v = G[u][i];dfs( v );tot[u][1] += tot[v][1];tot[u][2] += tot[v][2];}if( tot[u][1] >= tot[u][2] ) {int x = max( 0, k - t[u].len );ans += 1ll * x * tot[u][2];tot[u][1] -= tot[u][2];tot[u][2] = 0;}else {int x = max( 0, k - t[u].len );ans += 1ll * x * tot[u][1];tot[u][2] -= tot[u][1];tot[u][1] = 0;}
}int main() {scanf( "%d %d %s %s", &n, &k, a + 1, b + 1 );reverse( a + 1, a + n + 1 );reverse( b + 1, b + n + 1 );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) insert( a[i] - 'a', 1, i );for( int i = 1;i <= n;i ++ ) insert( b[i] - 'a', 2, i );for( int i = 2;i <= cnt;i ++ ) G[t[i].fa].push_back( i );dfs( 1 );printf( "%lld", ans );return 0;
}
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